面向常州重点高中准高一学生，15 次课系统填补初高中知识断层，提前预习必修一核心内容。
从代数运算填补断层开始，逐步过渡到二次函数深化、集合与逻辑预习、不等式与函数入门，最终以综合检测收官。
因式分解 · 乘法公式 · 根式分式 · 数学方法
函数拔高 · 韦达定理 · 根的分布 · 二次不等式
集合运算 · 区间表示 · 充要条件 · 量词命题
不等式性质 · 基本不等式 · 函数概念 · 分段函数
单调性奇偶性 · 模拟测试 · 高中学习规划
填补初高中代数运算的最大断层。初中对因式分解仅限于二次项系数为 1 的情况，高中解方程、不等式、导数中频繁需要高次多项式分解。
| 环节 | 内容 |
|---|---|
| 导入 | 展示高中需要用到因式分解的典型题目，说明重要性 |
| 知识点 1 | 十字相乘法（二次项系数 ≠ 1）— 标准形式与参数型 |
| 知识点 2 | 分组分解法（四项、五项、六项） |
| 知识点 3 | 高次多项式因式分解（试根法 + 降次） |
| 知识点 4 | 含参因式分解（主元法、待定系数法） |
| 环节 | 内容 |
|---|---|
| 回顾 | 初中公式回顾（平方差、完全平方） |
| 知识点 1 | 立方和公式 a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) |
| 知识点 2 | 立方差公式 a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) |
| 知识点 3 | 三数和平方公式 (a + b + c)² 及其变形 |
| 知识点 4 | 常见恒等变形 a² + b² = (a + b)² − 2ab 等 |
| 综合 | 公式综合应用（化简求值、因式分解） |
| 环节 | 内容 |
|---|---|
| 知识点 1 | 二次根式的性质回顾与深化 |
| 知识点 2 | 分母有理化（单项 / 多项） |
| 知识点 3 | 分子有理化（高中解题常用技巧） |
| 知识点 4 | 繁分式化简 |
| 知识点 5 | 双重根号化简 √(a ± 2√b) 型 |
| 环节 | 内容 |
|---|---|
| 知识点 1 | 配方法（含参配方、最值问题、比较大小） |
| 知识点 2 | 换元法（代数换元、三角换元初步） |
| 知识点 3 | 待定系数法（分解因式、求表达式） |
| 知识点 4 | 分类讨论思想（参数讨论、绝对值） |
| 知识点 5 | 初中几何知识补遗（四心、射影定理、圆幂定理等） |
| 内容 | 说明 | 高中用途 |
|---|---|---|
| 三角形四心 | 重心、垂心、外心、内心的概念 | 解析几何、向量 |
| 平行线分线段成比例 | 三条平行线截两条直线，对应线段成比例 | 相似、解几、立体几何 |
| 射影定理 | 直角三角形中，斜边上的高与射影的关系 | 三角函数、立体几何 |
| 相交弦定理 | 圆内两弦相交，交点到各端点乘积相等 | 圆幂定理、解析几何 |
| 切割线定理 | 从圆外一点引切线和割线的关系 | 圆的综合题 |
初中二次函数要求仅为"了解"水平，但它是高中贯穿始终的核心内容。需大幅提升至高中解题深度，涵盖区间最值、含参讨论、恒成立等核心题型。
| 环节 | 内容 |
|---|---|
| 知识点 1 | 标准形式、顶点式、交点式互化 |
| 知识点 2 | 图像变换：上下 / 左右平移、翻折 |
| 知识点 3 | 图像对称性：关于 x 轴、y 轴、原点、直线对称 |
| 知识点 4 | 闭区间上最值（定轴定区间 → 定轴动区间 → 动轴动区间） |
| 环节 | 内容 |
|---|---|
| 知识点 1 | 韦达定理（根与系数关系）的推导与理解 |
| 知识点 2 | 对称式求值 x₁² + x₂²、1/x₁ + 1/x₂、|x₁ − x₂| 等 |
| 知识点 3 | 根的分布问题（判别式 + 韦达定理 + 函数图像，重点强化） |
| 知识点 4 | 含参二次方程根的个数讨论 |
| 题型 | 方法 |
|---|---|
| 两根在区间 (m, n) 内 | 判别式 ≥ 0 + 对称轴在区间内 + f(m) > 0, f(n) > 0 |
| 两根分别在两个区间 | 结合图像，利用函数值符号判断 |
| 一根在区间内、一根在外 | f(m) · f(n) < 0 |
| 含参讨论根的个数 | 判别式 + 分类讨论 |
| 整数根问题 | 判别式为完全平方数 |
对应苏教版必修一第 1 – 2 章。这是高中数学的全新语言和思维方式，提前学习可以大幅降低开学后的认知负荷。
| 环节 | 内容 |
|---|---|
| 知识点 1 | 集合的含义与三要素（确定性、互异性、无序性） |
| 知识点 2 | 集合的表示方法（列举法、描述法） |
| 知识点 3 | 子集与真子集的概念、空集的特殊性 |
| 知识点 4 | 集合运算：交集、并集、补集 |
| 知识点 5 | 集合运算的性质与运算律 |
| 环节 | 内容 |
|---|---|
| 知识点 1 | 用集合语言表示方程 / 不等式的解集 |
| 知识点 2 | 区间的概念与表示（开区间、闭区间、半开半闭） |
| 知识点 3 | 含参数的集合问题（子集关系求参数范围） |
| 知识点 4 | Venn 图在集合运算中的应用 |
| 知识点 5 | 集合与新定义问题（创新题） |
对应苏教版必修一第 3 章和第 5 章部分。不等式是高中数学的核心工具，函数是高中数学的灵魂。
| 环节 | 内容 |
|---|---|
| 知识点 1 | 不等式的基本性质（传递性、可加性、可乘性） |
| 知识点 2 | 比较大小方法（作差法、作商法） |
| 知识点 3 | 绝对值不等式 |x − a| < b 和 |x − a| > b |
| 知识点 4 | |ax + b| ≤ c 型和含多个绝对值的不等式 |
| 环节 | 内容 |
|---|---|
| 知识点 1 | 均值不等式 √ab ≤ (a + b) / 2（a, b ≥ 0）的推导与理解 |
| 知识点 2 | "一正二定三相等"的应用原则 |
| 知识点 3 | 利用基本不等式求最值（"1" 的代换技巧） |
| 知识点 4 | 基本不等式推广（三变量均值不等式简介） |
函数性质初步预习 + 模拟检测 + 高中学习规划，完成衔接闭环。