初中已学：一元一次不等式解法、简单不等式加减乘除规则。高中需要系统掌握不等式的完整性质体系。
| 编号 | 性质 | 内容 | 条件 |
|---|---|---|---|
| 1 | 对称性 | 若 a > b，则 b < a | 恒成立 |
| 2 | 传递性 | 若 a > b，b > c，则 a > c | 恒成立 |
| 3 | 可加性 | 若 a > b，则 a + c > b + c | 恒成立 |
| 4 | 同向可加 | 若 a > b，c > d，则 a + c > b + d | 同向不等式 |
| 5 | 正乘保号 | 若 a > b，c > 0，则 ac > bc | c > 0 |
| 6 | 负乘变号 ⭐ | 若 a > b，c < 0，则 ac < bc | c < 0 ⚠️ |
| 7 | 同向可乘 | 若 a > b > 0，c > d > 0，则 ac > bd | 各项为正 |
| 8 | 乘方保序 | 若 a > b > 0，则 aⁿ > bⁿ | 正数乘方 |
| 9 | 开方保序 | 若 a > b > 0，则 √a > √b | 正数开方 |
⚠️ 三个易错点：
四步：作差 → 变形（配方/因式分解/通分）→ 判断符号 → 得出结论
当 a > 0，b > 0 时：a/b > 1 ⇒ a > b；a/b = 1 ⇒ a = b；a/b < 1 ⇒ a < b
⚠️ 作商法必须保证分母为正！
绝对值是初高中最大的脱节知识点之一。初中完全不涉及，高中贯穿始终。
| 类型 | 解集 | 口诀 |
|---|---|---|
| |x| < a（a > 0） | {x | −a < x < a} | 小于取中间 |
| |x| > a（a > 0） | {x | x > a 或 x < −a} | 大于取两边 |
| |x − a| < b（b > 0） | {x | a − b < x < a + b} | 小于取中间 |
| |x − a| > b（b > 0） | {x | x > a + b 或 x < a − b} | 大于取两边 |
1. 找零点：令各绝对值内部 = 0，得 n 个零点
2. 分段：n 个零点将数轴分为 n + 1 段
3. 去绝对值：逐段去掉绝对值符号，解不等式
4. 合并：取各段解集的并集
||a| − |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|
|a + b| = |a| + |b|，当且仅当 ab ≥ 0
|a − b| = |a| + |b|，当且仅当 ab ≤ 0
（1）已知 a > b > 0，c < d < 0，比较 ac 与 bd 的大小。
（2）已知 a > b，判断：① a² > b² ② a³ > b³ ③ 1/a < 1/b 是否一定成立。
解析：
（1）a > b > 0，c < d < 0。c < 0，由性质 6（负乘变号）得 ac < bc。b > 0，由性质 5 得 bc < bd。故 ac < bc < bd。
ac < bd
（2）① 不一定。反例：a = −1，b = −2，a² = 1 < b² = 4。平方保序需要 a、b 同号且为正。
② 一定成立。a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) > 0，故 a³ > b³。
③ 不一定。若 a > 0 > b，则 1/a > 0 > 1/b，方向相反。涉及倒数必须分正负讨论！
比较 (x + 1)(x + 4) 与 (x + 2)(x + 3) 的大小。
解析：作差：(x+1)(x+4) − (x+2)(x+3) = (x²+5x+4) − (x²+5x+6) = −2 < 0。
(x+1)(x+4) < (x+2)(x+3)
无论 x 取何值，前者总比后者小 2。
举一反三：比较 (x² + 1)² 与 x⁴ + x² + 1（x ≠ 0）。
已知 a > 0，b > 0，比较 a/b + b/a 与 2 的大小。
解析：作差：a/b + b/a − 2 = (a²+b²−2ab)/(ab) = (a−b)²/(ab)。
a/b + b/a ≥ 2（等号当 a = b 时成立）
基本不等式的雏形，第 12 课深入展开。
（1）|2x − 3| < 5 （2）|3x + 6| ≥ 9 （3）|5 − 2x| ≤ 3
（1）|2x−3| < 5 → −5 < 2x−3 < 5 → −2 < 2x < 8。
{x | −1 < x < 4}
（2）|3x+6| ≥ 9 → 3x+6 ≥ 9 或 3x+6 ≤ −9。
{x | x ≥ 1 或 x ≤ −5}
（3）|5−2x| = |2x−5| ≤ 3 → −3 ≤ 2x−5 ≤ 3。
{x | 1 ≤ x ≤ 4}
解不等式：|x − 1| + |x + 2| > 5
找零点：x = 1，x = −2。分三段。
① x < −2：(−x+1) + (−x−2) > 5 → −2x−1 > 5 → x < −3。结合前提：x < −3。
② −2 ≤ x < 1：(−x+1) + (x+2) > 5 → 3 > 5，无解。
③ x ≥ 1：(x−1) + (x+2) > 5 → 2x+1 > 5 → x > 2。结合前提：x > 2。
解集：{x | x < −3 或 x > 2}
几何理解：|x−1|+|x+2| 是点 x 到 1 和 −2 的距离和，最小值为 3。要超过 5，x 需跑到两端更远处。
举一反三：解 |x − 2| − |x + 3| < 4。
（1）求 |x − 3| + |x + 1| 的最小值。
几何法：点 x 到 3 和 −1 的距离之和，x 在中间时最小 = |3 − (−1)| = 4。
最小值为 4
（2）已知 |x − a| < 1，|y − b| < 2，求证：|2x + y − 2a − b| < 4。
|2x+y−2a−b| = |2(x−a)+(y−b)| ≤ 2|x−a| + |y−b| < 2×1 + 2 = 4。
举一反三：求 |x − 1| + |x − 3| + |x − 5| 的最小值。