第 11 课：不等式基本性质

a > b > 0，c < d < 0。c < 0，由性质 6（负乘变号）得 ac < bc。b > 0，由性质 5 得 bc < bd。故 ac < bc < bd。

ac < bd

① 不一定。反例：a = −1，b = −2，a² = 1 < b² = 4。平方保序需要 a、b 同号且为正。

② 一定。a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)，a − b > 0，(a + b/2)² + 3b²/4 ≥ 0，故 a³ > b³。

③ 不一定。若 a > 0 > b，则 1/a > 0 > 1/b，方向相反。涉及倒数必须分正负讨论！

作差：(x+1)(x+4) − (x+2)(x+3) = (x²+5x+4) − (x²+5x+6) = −2 < 0。

(x+1)(x+4) < (x+2)(x+3)

作差：(x²+1)² − (x⁴+x²+1) = x⁴+2x²+1 − x⁴−x²−1 = x² > 0（x ≠ 0）。

(x²+1)² > x⁴ + x² + 1

作差：a/b + b/a − 2 = (a²+b²−2ab)/(ab) = (a−b)²/(ab)。a > 0，b > 0，(a−b)² ≥ 0，ab > 0。

a/b + b/a ≥ 2（等号当 a = b 时成立）

（1）|2x−3| < 5 → −5 < 2x−3 < 5 → −2 < 2x < 8。

{x | −1 < x < 4}

（2）|3x+6| ≥ 9 → 3x+6 ≥ 9 或 3x+6 ≤ −9。

{x | x ≥ 1 或 x ≤ −5}

（3）|5−2x| = |2x−5| ≤ 3 → −3 ≤ 2x−5 ≤ 3。

{x | 1 ≤ x ≤ 4}

零点：x = 1，x = −2。分三段。

① x < −2：(−x+1) + (−x−2) > 5 → −2x−1 > 5 → x < −3。结合前提：x < −3。

② −2 ≤ x < 1：(−x+1) + (x+2) > 5 → 3 > 5，无解。

③ x ≥ 1：(x−1) + (x+2) > 5 → 2x+1 > 5 → x > 2。结合前提：x > 2。

解集：{x | x < −3 或 x > 2}

零点：x = 2，x = −3。三段。

① x < −3：−(x−2) + (x+3) < 4 → 5 < 4，无解。

② −3 ≤ x < 2：−(x−2) − (x+3) < 4 → −2x−1 < 4 → x > −5/2。→ (−5/2, 2)。

③ x ≥ 2：(x−2) − (x+3) < 4 → −5 < 4，恒成立。→ x ≥ 2。

解集：{x | x > −5/2}

几何法：点 x 到 3 和 −1 的距离之和，x 在中间时最小 = |3 − (−1)| = 4。

最小值为 4

|2x+y−2a−b| = |2(x−a)+(y−b)| ≤ 2|x−a| + |y−b| < 2×1 + 2 = 4。

三个绝对值，中位数 x = 3 处最小：|3−1| + |3−3| + |3−5| = 2 + 0 + 2 = 4。

最小值为 4

① 一定成立（同向可加）。② 不一定（反例：5−10 = −5 < 3−1 = 2，同向不可减）。③ 不一定（反例：a=2, b=−3, c=−1, d=−2，ac=−2 < bd=6，相乘需各项为正）。

c > d > 0 → 1/d > 1/c > 0。又 a > b > 0，正数同向可乘：a·(1/d) > b·(1/c)，即 a/d > b/c。

作差：(x+3)(x−2) − (x+1)(x−4) = 4x − 2。x > 1/2 时前者大；x = 1/2 相等；x < 1/2 后者大。

作商：(a²/b)/(b²/a) = a³/b³ = (a/b)³。a > b > 0，a/b > 1，故 (a/b)³ > 1。

a²/b > b²/a

|3x−6| < 9 → −9 < 3x−6 < 9 → −3 < 3x < 15。

{x | −1 < x < 5}

|2x+1| ≥ 7 → 2x+1 ≥ 7 或 2x+1 ≤ −7 → x ≥ 3 或 x ≤ −4。

{x | x ≥ 3 或 x ≤ −4}

零点 −1, 3。三段。① x < −1：x ≥ −3 → [−3, −1)。② −1 ≤ x < 3：4 ≤ 8 恒成立 → [−1, 3)。③ x ≥ 3：x ≤ 5 → [3, 5]。

[−3, 5]

几何意义：点 x 到 −2 和 4 的距离之和。最小值 = |4 − (−2)| = 6。

最小值为 6

√(a+1) − √a = 1/(√(a+1) + √a)。分母随 x 增大而增大，故 f(x) = √(x+1) − √x 单调递减。

a > b > 0 → f(a) < f(b)。

零点 1, 2, 3。四段。① x < 1：−3x+6 > 6 → x < 0。② 1 ≤ x < 2：−x+4 > 6 → x < −2，无解。③ 2 ≤ x < 3：x > 6，无解。④ x ≥ 3：3x−6 > 6 → x > 4。

{x | x < 0 或 x > 4}

|xy−ab| = |y(x−a)+a(y−b)| ≤ |y|·|x−a| + |a|·|y−b|。|y| ≤ |y−b|+|b| < ε+|b|。代入得 < (ε+|b|)ε + |a|ε = ε(|a|+|b|+ε)。

零点 1/2, −3。三段。① x < −3：−3x−2 < 7 → x > −3，矛盾，无解。② −3 ≤ x < 1/2：−x+4 < 7 → x > −3 → (−3, 1/2)。③ x ≥ 1/2：3x+2 < 7 → x < 5/3 → [1/2, 5/3)。

{x | −3 < x < 5/3}

第一部分：(a+b)/2 − √(ab) = (√a−√b)²/2 > 0（a ≠ b），故 (a+b)/2 > √(ab)。

第二部分：√(ab) − 2ab/(a+b) = √(ab)(√a−√b)²/(a+b) > 0。

(a+b)/2 > √(ab) > 2ab/(a+b)

算术平均 > 几何平均 > 调和平均，第 12 课深入展开。

令 t = |x−1|，|t−2| < 3 → −1 < t < 5。但 t ≥ 0，所以 0 ≤ t < 5 → |x−1| < 5。

{x | −4 < x < 6}

利用对称性，只需考虑 x ≥ 0, y ≥ 0。x ≥ y 时 f = 2x；y ≥ x 时 f = 2y。即 f = 2·max(|x|, |y|)。由 |x| ≤ 1, |y| ≤ 1：max(|x|, |y|) ≤ 1。

最大值 2（如 x=1, y=0），最小值 0（x=y=0）