第 4 课：重要数学方法与几何补遗

初升高数学衔接课程 · 代数运算升级模块（收官）· 教师版

📚 重点高中准高一 ⏱ 90 分钟 ⭐⭐⭐⭐ 难度

一、知识梳理

1. 配方法

x²+px+q=(x+p/2)²+q−p²/4 | x²+2ax+b=(x+a)²+(b−a²)

应用：求最值 · 比较大小 · 解方程

2. 换元法

三原则：简化目标 · 等价性 · 回代

类型：代数换元 · 整体代换 · 三角换元

3. 待定系数法

三步骤：设 → 列 → 解

4. 分类讨论

三原则：标准明确 · 不重不漏 · 逐类求解

场景：零点分段 · 含参方程 · 含参不等式

5. 几何补遗

知识	要点
三角形四心	重心（2:1）、外心（等距）、内心（等距边）、垂心（三高共点）
射影定理	AC²=AD·AB, BC²=BD·AB, CD²=AD·BD
圆幂定理	相交弦/切割线/割线 → PA·PB=PC·PD 或 PT²=PA·PB
平行线分线段成比例	DE∥BC → AD/DB=AE/EC

二、典例精讲（含答案）

【例 1】配方法求最值

【解答】

x²−6x+13=(x−3)²+4 ≥ 4 → 最小值 4

1.1 (x+2)²−9 → −9
1.2 −(x−1)²+4 → 最大值 4

【例 2】配方法比较大小

【解答】

作差=(a−3)²−1，讨论正负

2.1 (x−1)²+2>0 → x²+3>2x 恒成立
2.2 ½[(x−y)²+(x−1)²+(y−1)²]≥0

【例 3】双变量配方

【解答】

(x−2)²+(y+3)²+2 ≥ 2 → 最小值 2

3.1 5
3.2 x=3, y=−2

【例 4】换元法

【解答】

令 t=x²：t²−3t−4=0 → t=4 → x=±2

4.1 x=±1, ±2
4.2 x=2 或 −3

【例 5】整体代换

【解答】

令 y=x²+x：(y+5)(y−2) → (x²+x+5)(x+2)(x−1)

【例 6】待定系数法

【解答】

设 (x²+ax+1)(x²−ax+1)：a=±1 → (x²+x+1)(x²−x+1)

6.1 (x²+2x+2)(x²−2x+2)
6.2 f(x)=x²+x

【例 7】零点分段法

【解答】

分三段：x=−3 ✓ 或 x=2 ✓

7.1 x=7.5 或 −1.5
7.2 x<−2 或 x>2

【例 8】含参方程

【解答】

a=0 ✓；a≠0 需 Δ≥0 → a≤1

8.1 a≤2
8.2 Δ=4a²−4a−8>0 → a<−1 或 a>2

三、课后作业（含答案）

A 组 · 基础题

−9（x=−2）
6（x=3）
x=±1, ±2
(x²+3x+6)(x+4)(x−1)
(x²+2x+2)(x²−2x+2)
x=5 或 −1
f(x)=x²+1
x²+5 > 4x 恒成立

B 组 · 提高题

5
x=−1±2√2
−1
x≤−4 或 x≥3
a≥−1/4
½[(x−y)²+(x−1)²+(y−1)²]≥0 ✓
(x²+x+2)(x²−x+2)

C 组 · 挑战题

分段：3 (a<0)；3−a² (0≤a≤2)；7−4a (a>2)
[−2, 2√2]（三角换元）
x=2/3 或 10/3
6√6（海伦公式）
PT²=PA·PB → AB=5