初中：通过图象"看"增减性。高中：用精确的数学语言描述。
单调递增：对任意 x₁ < x₂ ∈ I，f(x₁) < f(x₂)
单调递减：对任意 x₁ < x₂ ∈ I，f(x₁) > f(x₂)
1. 任取 x₁, x₂ ∈ I，且 x₁ < x₂
2. 作差 f(x₁) − f(x₂)
3. 变形（因式分解、配方、通分）
4. 判断差式符号，得出结论
定义域 D 必须关于原点对称。
| 类型 | 条件 | 图象特征 |
|---|---|---|
| 偶函数 | f(−x) = f(x) | 关于 y 轴对称 |
| 奇函数 | f(−x) = −f(x) | 关于原点对称 |
⚠️ 奇函数若 f(0) 有定义，则 f(0) = 0。
| 函数 | 定义域 | 单调性 | 奇偶性 |
|---|---|---|---|
| y = x | R | R 上 ↗ | 奇 |
| y = x² | R | (−∞,0] ↘，[0,+∞) ↗ | 偶 |
| y = x³ | R | R 上 ↗ | 奇 |
| y = 1/x | x ≠ 0 | (−∞,0) ↘，(0,+∞) ↘ | 奇 |
| y = √x | [0,+∞) | [0,+∞) 上 ↗ | 非奇非偶 |
（1）证明 f(x) = 2x+1 在 R 上单调递增。（2）证明 f(x) = 1/x 在 (0,+∞) 上单调递减。
解析：
（1）任取 x₁ < x₂。f(x₁)−f(x₂) = 2(x₁−x₂) < 0。f(x₁) < f(x₂)。单调递增。
（2）f(x₁)−f(x₂) = (x₂−x₁)/(x₁x₂)。分子 > 0，分母 > 0。差式 > 0。f(x₁) > f(x₂)。单调递减。
（1）f(x) = x²−4x+3（2）f(x) = |x−1|
解析：
（1）f(x) = (x−2)²−1，顶点 x=2，开口向上。(−∞,2] ↘，[2,+∞) ↗。
（2）f(x) = { 1−x (x<1); x−1 (x≥1) }。(−∞,1] ↘，[1,+∞) ↗。
（1）f(x)=x³+x（2）f(x)=x²+1（3）f(x)=x³+x²（4）f(x)=x²，x∈[−1,2]
解析：
（1）f(−x)=−x³−x=−f(x)。奇函数。
（2）f(−x)=x²+1=f(x)。偶函数。
（3）f(−x)=−x³+x²，既不等于 f(x) 也不等于 −f(x)。非奇非偶。
（4）定义域 [−1,2] 不关于原点对称。非奇非偶。
（1）f(x) 是奇函数，f(2)=5，求 f(−2)。（2）f(x) 是偶函数，在 (−∞,0] 上单调递减，比较 f(−3) 与 f(2)。
解析：
（1）f(−2) = −f(2) = −5。
（2）f(−3)=f(3)（偶函数）。偶函数在对称区间单调性相反 → 在 [0,+∞) 上单调递增。3 > 2，f(3) > f(2)。即 f(−3) > f(2)。
（1）1.5³ 与 1.7³（2）0.8⁻¹ 与 1.2⁻¹（3）(−2.5)^{2/3} 与 (−3.1)^{2/3}
解析：
（1）y=x³ 在 R 上 ↗，1.5 < 1.7 → 1.5³ < 1.7³。
（2）y=1/x 在 (0,+∞) 上 ↘，0.8 < 1.2 → 0.8⁻¹ > 1.2⁻¹。
（3）x^{2/3} 是偶函数，化为正数比较。2.5 < 3.1，y=x^{2/3} 在 [0,+∞) ↗。
(−2.5)^{2/3} < (−3.1)^{2/3}