第 8 课：集合的概念与运算

初升高数学衔接课程 · 集合与逻辑模块

📚 重点高中准高一 ⏱ 90 分钟 ⭐⭐ 难度

一、知识梳理

1. 集合的含义与三要素

确定性：任何对象要么属于集合，要么不属于

互异性：集合中元素互不相同

无序性：元素没有先后顺序

2. 数集符号与表示法

符号	含义
N	自然数集（含 0）
N* 或 N+	正整数集
Z	整数集
Q	有理数集
R	实数集

列举法：{1, 2, 3} 描述法：{x | p(x)}

∈ 属于（元素与集合） ⊆ 包含于（集合与集合）

3. 子集与空集

⚠️ 空集 ∅ 是任何集合的子集！

n 元集合：子集 2ⁿ 个，真子集 2ⁿ-1 个

4. 集合运算

运算	定义	德·摩根定律
交集 A∩B	公共部分	C_U(A∩B)=(C_UA)∪(C_UB)
并集 A∪B	合并全部	C_U(A∪B)=(C_UA)∩(C_UB)
补集 C_UA	全集去掉 A	依赖于全集 U

二、典例精讲

【例 1】集合的含义

题目：判断能否构成集合：A. 某班身高较高的学生 B. 不超过 10 的非负整数 C. π 的近似值 D. 2026 年参加高考的学生

B、D（A"较高"不确定，C"近似值"不确定）

1.1 ∈, ∉, ∈, ∉

【例 2】列举法与描述法

题目：(1) A={x∈N|x<5} (2) B={x∈Z|-2<x≤3}

(1) {0,1,2,3,4} (2) {-1,0,1,2,3}

2.1 {2n|n=1,2,3,4,5}

【例 3】互异性 ⚠️

题目：A={1, a, a²-a}，若 2∈A，求 a

a=-1（a=2 违反互异性）

3.1 a=-2

【例 4】子集与真子集

8 个子集，7 个真子集

【例 5】含参子集（空集陷阱）⭐

题目：A={x|-2≤x≤5}, B={x|m+1≤x≤2m-1}, B⊂A，求 m

B=∅：m<2 √；B≠∅：2≤m≤3

m ≤ 3

5.1 A={1,2}；a=0, 1/2, 1/3

【例 6】交集并集

A∩B={3,4,5}, A∪B={1,2,3,4,5,6,7}

【例 7】数轴法

题目：A={x|-1<x<3}, B={x|x>1}

A∩B=(1,3), A∪B=(-1,+∞)

7.1 (-3,2], R

【例 8】补集与德·摩根

题目：U=R, A={x|x<2}, B={x|x>-1}

C_U(A∩B) = {x|x≤-1 或 x≥2} = (C_UA)∪(C_UB) √

三、课后作业（20 题）

A 组 · 基础题（8 题）

判断能否构成集合
∈ 或 ∉ 填空
列举法表示集合
A={1,2,3}, B={2,3,4}，求 A∩B 和 A∪B
求补集
子集个数
A∩B 和 A∪B
描述法表示集合

B 组 · 提高题（7 题）

A={1,a+1,a²-2a}, 3∈A，求 a
A∩B, A∪B
补集运算+德·摩根验证
B⊂A，求 m
B⊂A 含参讨论
韦恩图应用题
A∩B, A∪B, C_R(A∪B)

C 组 · 挑战题（5 题）

A∩B=B，求 a
C⊂B，求 a
A∪B=R，求 m
A∩B≠∅, A∩C=∅，求 a
A∩R+=∅，求 a