y = f(x)，x ∈ A
设 A、B 是两个非空数集，对于 A 中任意一个 x，在 B 中都有唯一确定的 f(x) 与之对应。
定义域 + 对应法则 → 值域。判断两个函数是否相同：定义域和对应法则都相同。
| 条件 | 限制 |
|---|---|
| 分式 | 分母 ≠ 0 |
| 偶次根式 | 被开方数 ≥ 0 |
| 零次幂 | 底数 ≠ 0 |
（1）f(x) = 1/(x − 2)
x−2 ≠ 0。
{x | x ≠ 2}
（2）f(x) = √(x + 3)
x+3 ≥ 0。
{x | x ≥ −3}
（3）f(x) = 1/√(x − 1) + √(4 − x)
x−1 > 0 且 4−x ≥ 0。1 < x ≤ 4。
{x | 1 < x ≤ 4}
（4）f(x) = √(x² − 4)/(x − 3)
x²−4 ≥ 0 → x ≤ −2 或 x ≥ 2。x ≠ 3。
{x | x ≤ −2 或 2 ≤ x < 3 或 x > 3}
举一反三：f(x) = √(2x+6) + 1/(x+1)。
2x+6 ≥ 0 → x ≥ −3。x ≠ −1。
{x | x ≥ −3 且 x ≠ −1}
f(x) = x² − 3x + 2。（1）f(2)、f(−1)、f(a)（2）f(x+1)（3）f(f(1))
（1）f(2)=0，f(−1)=6，f(a)=a²−3a+2。
（2）f(x+1) = x²−x。
（3）f(1)=0，f(f(1))=f(0)=2。
举一反三：f(x) = 2x+1，求 f(f(x))。
f(f(x)) = f(2x+1) = 2(2x+1)+1 = 4x+3。
（1）f(x)=x 与 g(x)=(√x)²（2）f(x)=x 与 g(x)=x²/x（3）f(x)=|x| 与 g(x)=√(x²)
（1）g(x) 定义域 [0,+∞)，≠ R。不是同一函数。
（2）g(x) 定义域 {x|x≠0}，≠ R。不是同一函数。
（3）g(x)=√(x²)=|x|，定义域 R，对应法则相同。是同一函数。
f(x) = { x+2 (x<0); x² (0≤x<2); 2x−1 (x≥2) }。
（1）f(−3)、f(1)、f(2)、f(3)（2）若 f(a)=3，求 a。
（1）f(−3)=−1，f(1)=1，f(2)=3，f(3)=5。
（2）a+2=3→a=1（舍）；a²=3→a=√3（∈[0,2)）；2a−1=3→a=2（∈[2,+∞)）。
a = √3 或 a = 2
（1）y = x² − 4x + 5
y = (x−2)²+1 ≥ 1。
值域：[1, +∞)
（2）y = x + 2√(x − 1)
令 t = √(x−1)，t ≥ 0，x = t²+1。y = (t+1)² ≥ 1。
值域：[1, +∞)
x ≠ −1。
{x | x ≠ −1}
x ≥ 2。
{x | x ≥ 2}
x ≥ 1 且 x ≠ 3。
{x | 1 ≤ x < 3 或 x > 3}
f(0)=1，f(−2)=11，f(a+1)=2a²+3a+2。
g(x)=(x³)^{1/3}=x，定义域 R（立方根总有意义）。定义域和对应法则相同，是同一函数。
f(f(x)) = f(3x−2) = 3(3x−2)−2 = 9x−8。
y = (x−3)²+1 ≥ 1。
值域：[1, +∞)
y = |x−1| = { x−1 (x≥1); 1−x (x<1) }。V 形，顶点 (1,0)，左斜率 −1，右斜率 +1。
(x−1)(x−2) ≥ 0 → x≤1 或 x≥2。x ≠ 1。
{x | x < 1 或 x ≥ 2}
f(f(−1))：f(−1)=−1，f(−1)=−1。f(f(1))：f(1)=1，f(1)=1。
f(f(−1)) = −1，f(f(1)) = 1
令 x = 2cos θ（θ∈[0,π]），y = 2√2·sin(θ+π/4)。θ+π/4 ∈ [π/4, 5π/4]。
值域：[−2, 2√2]
f(f(x)) = −1/x。定义域：x ≠ −1 且 x ≠ 0。
f(f(x)) = −1/x（x ≠ −1 且 x ≠ 0）
分段讨论 6 种情况，逐一检验均无解。f(x) 在整个定义域上严格递增，故 f(a)=f(a+1) 不可能。
无解
分离常数：y = 1+2/(x²−1)。x²−1>0 时 y∈(1,+∞)。x²−1<0 时 x²−1∈(−1,0)，y∈(−∞,−1)。
值域：(−∞, −1) ∪ (1, +∞)
f(x)=g(x)：x²+2x=2x+1 → x²=1 → x=±1。
f(x)≥g(x)：x²≥1 → x≥1 或 x≤−1。