初中已学：一次函数 y = kx + b、二次函数 y = ax² + bx + c、反比例函数 y = k/x。
初中定义（变量说）：对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应。
高中需要用集合语言精确描述函数。
y = f(x)，x ∈ A
设 A、B 是两个非空数集，对于 A 中任意一个 x，在 B 中都有唯一确定的 f(x) 与之对应，则 f: A → B 为函数。
定义域 = A，值域 = {f(x) | x ∈ A}。
| 要素 | 含义 | 说明 |
|---|---|---|
| 定义域 | 自变量 x 的取值范围 | 决定函数"能算什么" |
| 对应法则 | x 到 f(x) 的对应规则 | 决定函数"怎么算" |
| 值域 | 函数值 f(x) 的取值范围 | 由定义域和对应法则决定 |
| 条件 | 限制 | 示例 |
|---|---|---|
| 分式 | 分母 ≠ 0 | 1/(x−2)，x ≠ 2 |
| 偶次根式 | 被开方数 ≥ 0 | √(x−3)，x ≥ 3 |
| 零次幂 | 底数 ≠ 0 | (x−1)⁰，x ≠ 1 |
多种限制时，定义域是各部分限制条件的交集。
| 方法 | 适用类型 |
|---|---|
| 观察法 | 简单函数 |
| 配方法 | 二次函数 |
| 换元法 | 含根式等复杂函数 |
在定义域的不同部分，用不同的对应法则表示的函数。
分段函数是一个函数，不是多个函数。
定义域 = 各段定义域的并集，值域 = 各段值域的并集。
任意一条竖直线与图象最多有一个交点 → 是函数。
（1）f(x) = 1/(x − 2) （2）f(x) = √(x + 3) （3）f(x) = 1/√(x − 1) + √(4 − x) （4）f(x) = √(x² − 4)/(x − 3)
解析：
（1）x−2 ≠ 0 → x ≠ 2。
（2）x+3 ≥ 0 → x ≥ −3。
（3）x−1 > 0 且 4−x ≥ 0 → 1 < x ≤ 4。
（4）x²−4 ≥ 0 → x ≤ −2 或 x ≥ 2。x ≠ 3。取交集：x ≤ −2 或 2 ≤ x < 3 或 x > 3。
举一反三：f(x) = √(2x+6) + 1/(x+1) 的定义域。
f(x) = x² − 3x + 2，求：（1）f(2)、f(−1)、f(a)（2）f(x+1)（3）f(f(1))
解析：
（1）f(2) = 0，f(−1) = 6，f(a) = a²−3a+2。
（2）f(x+1) = (x+1)²−3(x+1)+2 = x²−x。
（3）f(1) = 0，f(f(1)) = f(0) = 2。
举一反三：已知 f(x) = 2x+1，求 f(f(x))。
（1）f(x)=x 与 g(x)=(√x)²（2）f(x)=x 与 g(x)=x²/x（3）f(x)=|x| 与 g(x)=√(x²)
解析：
（1）g(x)=(√x)² 定义域 [0,+∞)，≠ R。不是同一函数。
（2）g(x)=x²/x 定义域 {x|x≠0}，≠ R。不是同一函数。
（3）g(x)=√(x²)=|x|，定义域 R，对应法则相同。是同一函数。
f(x) = { x+2 (x<0); x² (0≤x<2); 2x−1 (x≥2) }。
（1）f(−3)、f(1)、f(2)、f(3)（2）若 f(a)=3，求 a
解析：
（1）f(−3)=−1，f(1)=1，f(2)=3，f(3)=5。
（2）分段讨论：a+2=3→a=1（不在 x<0，舍）；a²=3→a=√3（在 [0,2)）；2a−1=3→a=2（在 x≥2）。
a = √3 或 a = 2
（1）y = x² − 4x + 5（2）y = x + 2√(x − 1)
解析：
（1）y = (x−2)²+1 ≥ 1。值域 [1, +∞)。
（2）令 t = √(x−1)，t ≥ 0，x = t²+1。y = t²+1+2t = (t+1)² ≥ 1。值域 [1, +∞)。