对任意 a ≥ 0，b ≥ 0，有 (√a − √b)² ≥ 0。
展开：a − 2√(ab) + b ≥ 0，移项得：
√(ab) ≤ (a + b) / 2
等号当且仅当 a = b 时成立。
文字叙述：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数。
面积一定的矩形中，正方形的周长最小。周长一定的矩形中，正方形的面积最大。
利用基本不等式求最值时，三个条件缺一不可：
| 条件 | 含义 | 说明 |
|---|---|---|
| 一正 | 变量为正数 | a > 0，b > 0 是使用前提 |
| 二定 | 和或积为定值 | "和定积最大"或"积定和最小" |
| 三相等 | 等号能取到 | a = b 的条件必须在定义域内 |
⚠️ 三个常见陷阱：
调和平均 ≤ 几何平均 ≤ 算术平均 ≤ 平方平均
口诀："调几算方"，等号当且仅当 a = b 时成立。
| 变形 | 用途 |
|---|---|
| a + b ≥ 2√(ab) | 积定和最小 |
| ab ≤ ((a+b)/2)² | 和定积最大 |
| a + 1/a ≥ 2（a > 0） | 倒数和模型 |
| a/b + b/a ≥ 2（a, b > 0） | 比值和模型 |
（1）已知 x > 0，求 x + 1/x 的最小值。
（2）已知 0 < x < 1，求 x(1 − x) 的最大值。
解析：
（1）x > 0，1/x > 0。由基本不等式：x + 1/x ≥ 2√(x·1/x) = 2。等号当 x = 1 时成立。
最小值为 2
（2）x > 0，1−x > 0。和 x+(1−x) = 1 为定值，积有最大值。x(1−x) ≤ (1/2)² = 1/4。等号当 x = 1/2 时成立。
最大值为 1/4
和定积最大，积定和最小——这是基本不等式求最值的核心口诀。
举一反三：1.1 已知 x > 0，求 2x + 8/x 的最小值。1.2 已知 x > 0，求 x(4 − 3x) 的最大值。
（1）求 x + 1/x 的最小值，得 2。（2）求 x² + 1/x² 的最小值，得 2。
解析：
（1）不正确。未给出 x > 0。若 x < 0，设 t = −x > 0，x + 1/x = −(t+1/t) ≤ −2。
（2）正确。x² > 0，1/x² > 0，x²·1/x² = 1 为定值，等号 x = ±1 时成立。
举一反三：2.1 已知 x > 2，求 x + 1/(x − 2) 的最小值。
已知 a > 0，b > 0，a + b = 1，求 1/a + 4/b 的最小值。
解析：
"1 的代换"：(1/a+4/b)(a+b) = 1+b/a+4a/b+4 = 5+b/a+4a/b。
b/a+4a/b ≥ 2√(b/a·4a/b) = 4。故 1/a+4/b ≥ 9。
等号当 b/a = 4a/b，b = 2a，a = 1/3，b = 2/3 时成立。
最小值为 9
"1 的代换"核心思想：将常数 1 替换为已知条件中的和式，展开后利用基本不等式消去变量。
举一反三：3.1 已知 a > 0，b > 0，a + 2b = 2，求 1/a + 1/b 的最小值。
已知 a > 0，b > 0，2a + b = 1，求 1/a + 1/b 的最小值。
解析：(1/a+1/b)(2a+b) = 2+b/a+2a/b+1 = 3+b/a+2a/b ≥ 3+2√2。
最小值为 3+2√2
举一反三：4.1 已知 a > 0，b > 0，a + b = 1，求 4/a + 1/b 的最小值。
（1）已知 x > 0，y > 0，x + y = 2，求 1/x + 1/y 的最小值。
解析：1/x+1/y = (x+y)/(xy) = 2/(xy)。由 √(xy) ≤ 1，xy ≤ 1，2/(xy) ≥ 2。
最小值为 2
（2）已知 x > 1，求 (x² + 3)/(x − 1) 的最小值。
解析：x²+3 = (x−1)(x+1)+4。(x²+3)/(x−1) = x+1+4/(x−1) = (x−1)+4/(x−1)+2。
≥ 2√4+2 = 6。等号当 x = 3 时成立。
最小值为 6
举一反三：5.1 已知 x > 1，求 (x² − x + 4)/(x − 1) 的最小值。