第 5 课：二次函数深度复习

初升高数学衔接课程 · 二次函数深化模块

📚 重点高中准高一 ⏱ 90 分钟 ⭐⭐⭐ 难度

一、知识梳理

1. 三种解析式

形式	表达式	直接看出的信息
一般式	y = ax² + bx + c	系数
顶点式	y = a(x - h)² + k	顶点 (h,k)，对称轴 x=h
交点式	y = a(x-x₁)(x-x₂)	与 x 轴交点（需 Δ>0）

2. 图像变换

平移口诀：上加下减常数项，左加右减自变量

翻折：

关于 x 轴：y→-y（a 和 k 变号）
关于 y 轴：x→-x（h 变号）
关于原点：a、h、k 都变号

3. 对称性

抛物线自身关于 x = -b/(2a) 对称。

关于直线 x = m 对称：x → 2m - x

4. 闭区间最值 ⭐ 核心

核心：判断对称轴与区间的相对位置

口诀："轴在内看顶点和端点，轴在外看单调性"

类型	对称轴	区间
定轴定区间	固定	固定
定轴动区间	固定	含参数
动轴定区间	含参数	固定

二、典例精讲

【例 1】三种形式互化

题目：y=2x²-4x+5 → 顶点式和交点式

y=2(x-1)²+3，顶点 (1,3)

Δ=16-40=-24<0，不存在交点式

【例 2】图像平移

题目：y=2(x-1)²-5 左移2，下移1

y=2(x+1)²-6，顶点 (-1,-6)

【例 3】翻折变换

题目：y=2(x-1)²-5 关于 x 轴、y 轴对称

关于 x 轴：y=-2(x-1)²+5

关于 y 轴：y=2(x+1)²-5

【例 4】定轴定区间最值

题目：f(x)=x²-2x-3 在 [-2,2] 上的最值

对称轴 x=1∈[-2,2]，开口向上

最小值 f(1)=-4，最大值 f(-2)=5

【例 5】定轴动区间最值

题目：f(x)=x²-2x-3 在 [t,t+2] 上的最小值 g(t)

对称轴 x=1：

t<-1：g(t)=t²+2t-3
-1≤t≤1：g(t)=-4
t>1：g(t)=t²-2t-3

【例 6】动轴定区间最值 ⭐

题目：f(x)=x²-2ax-1 在 [0,2] 上的最小值

对称轴 x=a：

a<0：min=-1
0≤a≤2：min=-1-a²
a>2：min=3-4a

三、课后作业（20 题）

A 组 · 基础题（8 题）

将 y=3x²-6x+7 化为顶点式
将 y=-(x+3)²+4 化为一般式
顶点 (-1,2)，过 (1,-2)，求解析式
y=(x-2)²+1 左移3上移2
y=x²-4x+3 关于 x 轴对称
f(x)=x²-4x+1 在 [0,3] 上的最值
f(x)=-x²+2x+5 在 [-1,4] 上的最值
求 f(x)=2x²+4x-1 的对称轴和顶点

B 组 · 提高题（7 题）

f(x)=x²-6x+5 在 [t,t+1] 上的最小值 g(t)
f(x)=x²-4x+3 在 [0,3] 上的值域
f(x)=x²-2ax+3 在 [0,2] 上的最小值
翻折后函数在 [-2,4] 上的最大值
y=-x²+2x+3 关于 x=2 对称
f(x)=-x²+2ax+1 在 [-1,1] 上的最大值
已知过 (0,1)，顶点 (1,-1)，求 a,b,c

C 组 · 挑战题（5 题）

f(x)=x²-2ax+3 在 [a,a+2] 上的最小值
f(x)=x²+2ax+2 在 [-5,5] 上的最值
是否存在 m 使 f(x) 在 [m,m+3] 上最小值为 -8
y=x²-2x+3 在 [t,t+2] 上的最大值 M(t)
x²-2ax+a+2=0 两根在 (0,4) 内，求 a