第14课：综合模拟训练

1. 已知直线 $l$ 经过点 $A(1, 2)$ 和 $B(3, 6)$，则直线 $l$ 的斜率为（  ）
A. $1$    B. $2$    C. $3$    D. $4$

2. 已知直线 $l_1: 2x + y - 1 = 0$ 与直线 $l_2: ax - 2y + 3 = 0$ 互相垂直，则 $a$ 的值为（  ）
A. $-1$    B. $1$    C. $-4$    D. $4$

3. 圆 $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$ 的圆心坐标和半径分别为（  ）
A. $(1, -2)$，$r = 3$    B. $(1, 2)$，$r = 3$
C. $(-1, 2)$，$r = 9$    D. $(1, -2)$，$r = 9$

4. 椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的长半轴长 $a$、短半轴长 $b$ 和半焦距 $c$ 分别为（  ）
A. $a = 5, b = 3, c = 4$    B. $a = 25, b = 9, c = 16$
C. $a = 5, b = 3, c = \sqrt{34}$    D. $a = 3, b = 5, c = 4$

5. 抛物线 $y^2 = 8x$ 的焦点坐标为（  ）
A. $(2, 0)$    B. $(4, 0)$    C. $(0, 2)$    D. $(0, 4)$

6. 直线 $y = x + 1$ 被圆 $x^2 + y^2 = 4$ 截得的弦长为（  ）
A. $\sqrt{2}$    B. $\sqrt{6}$    C. $2\sqrt{2}$    D. $\sqrt{14}$

7. 双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的渐近线方程为（  ）
A. $y = \pm\dfrac{2}{3}x$    B. $y = \pm\dfrac{3}{2}x$
C. $y = \pm\dfrac{4}{9}x$    D. $y = \pm\dfrac{9}{4}x$

8. 已知 $F_1$、$F_2$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的两个焦点，$P$ 是椭圆上的点，且 $\angle F_1PF_2 = 60°$，则 $\triangle F_1PF_2$ 的面积为（  ）
A. $3$    B. $3\sqrt{3}$    C. $9\sqrt{3}$    D. $9$

9. 点 $P(1, -1)$ 到直线 $3x - 4y + 2 = 0$ 的距离为 ______。

10. 圆 $C_1: x^2 + y^2 = 4$ 与圆 $C_2: (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$ 的位置关系为 ______。

11. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的短轴长等于焦距，则该椭圆的离心率为 ______。

12. 过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A$、$B$ 两点，若 $|AF| = 3$，则 $|BF| = $ ______。

13.（10 分）已知圆 $C$ 的方程为 $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$。
（1）将圆的方程化为标准形式，并指出圆心坐标和半径；
（2）判断点 $P(4, 3)$ 与圆 $C$ 的位置关系；
（3）求过点 $P$ 的圆 $C$ 的切线方程。

14.（10 分）已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，短半轴长为 $1$。
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）求椭圆 $C$ 的焦点坐标和顶点坐标；
（3）设 $P$ 是椭圆 $C$ 上的点，$F_1$、$F_2$ 为椭圆的两个焦点，求 $|PF_1| \cdot |PF_2|$ 的最大值。

15.（10 分）已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$，直线 $l: y = x + m$。
（1）若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有两个不同的交点，求 $m$ 的取值范围；
（2）当 $m = 1$ 时，设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$、$B$ 两点，求弦长 $|AB|$。

16.（10 分）已知抛物线 $C: y^2 = 4x$ 的焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$、$B$ 两点。
（1）若直线 $l$ 的斜率为 $1$，求 $|AB|$；
（2）证明：$\dfrac{1}{|AF|} + \dfrac{1}{|BF|}$ 为定值，并求该定值。