我们已经学完了三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。本课将系统对比三种曲线，查漏补缺，强化基础。
核心问题：三种曲线有什么共性和差异？
平面内到一个定点 $F$（焦点）和一条定直线 $l$（准线，$F \notin l$）的距离之比等于常数 $e$（离心率）的点的轨迹：
| 离心率 | 轨迹 |
|---|---|
| $0 < e < 1$ | 椭圆 |
| $e = 1$ | 抛物线 |
| $e > 1$ | 双曲线 |
这是三种圆锥曲线的统一描述——离心率 $e$ 决定了曲线的类型。
| 曲线 | 定义 | 关键条件 |
|---|---|---|
| 椭圆 | 到两定点 $F_1, F_2$ 的距离之和等于常数 $2a$ | $2a > 2c > 0$ |
| 双曲线 | 到两定点 $F_1, F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数 $2a$ | $0 < 2a < 2c$ |
| 抛物线 | 到一定点 $F$ 和一定直线 $l$ 的距离相等 | $F \notin l$ |
| 曲线 | 焦点在 $x$ 轴 | 焦点在 $y$ 轴 | 参数关系 |
|---|---|---|---|
| 椭圆 | $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ | $\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ | $a^2 = b^2 + c^2$（$a$ 最大） |
| 双曲线 | $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ | $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ | $c^2 = a^2 + b^2$（$c$ 最大） |
| 抛物线 | $y^2 = 2px$（开口向右） | $x^2 = 2py$（开口向上） | 仅一个参数 $p$ |
| 性质 | 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ | 双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ | 抛物线 $y^2=2px$ |
|---|---|---|---|
| 范围 | $-a \leq x \leq a$（有界） | $|x| \geq a$（无界） | $x \geq 0$（无界） |
| 对称性 | 关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点 | 关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点 | 关于 $x$ 轴 |
| 顶点 | $(\pm a, 0), (0, \pm b)$ | $(\pm a, 0)$ | $(0, 0)$ |
| 焦点 | $(\pm c, 0)$ | $(\pm c, 0)$ | $\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$ |
| 离心率 | $e \in (0, 1)$ | $e \in (1, +\infty)$ | $e = 1$ |
| 渐近线 | 无 | $y = \pm\dfrac{b}{a}x$ | 无 |
| 准线 | $x = \pm\dfrac{a^2}{c}$ | $x = \pm\dfrac{a^2}{c}$ | $x = -\dfrac{p}{2}$ |
| 通径 | $\dfrac{2b^2}{a}$ | $\dfrac{2b^2}{a}$ | $2p$ |
思路：判断动点满足哪种圆锥曲线的定义，直接写出方程。
适用场景：
步骤：
思路：动点 $M(x, y)$ 依赖于已知曲线上的点 $P(x_0, y_0)$，用 $x, y$ 表示 $x_0, y_0$，代入 $P$ 的方程。
步骤：
思路：根据题意直接列等量关系，化简得方程。
判断下列方程分别表示什么曲线，并指出其焦点坐标和离心率。
(1) $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$
(2) $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$
(3) $y^2 = 12x$
(1) 这是椭圆方程，$a^2 = 9$，$b^2 = 4$，$c^2 = a^2 - b^2 = 5$
焦点坐标：$F_1(-\sqrt{5}, 0)$，$F_2(\sqrt{5}, 0)$
离心率：$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$
(2) 这是双曲线方程，$a^2 = 9$，$b^2 = 4$，$c^2 = a^2 + b^2 = 13$
焦点坐标：$F_1(-\sqrt{13}, 0)$，$F_2(\sqrt{13}, 0)$
离心率：$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{13}}{3}$
(3) 这是抛物线方程，$2p = 12$，$p = 6$
焦点坐标：$F(3, 0)$
离心率：$e = 1$
填写下表：
| 性质 | $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ | $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$ | $y^2=16x$ |
|---|---|---|---|
| 曲线类型 | |||
| 顶点 | |||
| 焦点 | |||
| 离心率 | |||
| 准线 |
| 性质 | $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ | $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$ | $y^2=16x$ |
|---|---|---|---|
| 曲线类型 | 椭圆 | 双曲线 | 抛物线 |
| 顶点 | $(\pm 4, 0), (0, \pm 3)$ | $(\pm 4, 0)$ | $(0, 0)$ |
| 焦点 | $(\pm \sqrt{7}, 0)$ | $(\pm 5, 0)$ | $(4, 0)$ |
| 离心率 | $\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ | $\dfrac{5}{4}$ | $1$ |
| 准线 | $x = \pm\dfrac{16}{\sqrt{7}}$ | $x = \pm\dfrac{16}{5}$ | $x = -4$ |
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率为 $e_2$，求 $e_2$。
由椭圆离心率：$e_1 = \dfrac{c_1}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
所以 $c_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a$，$c_1^2 = \dfrac{3}{4}a^2$
又 $c_1^2 = a^2 - b^2$，所以 $b^2 = a^2 - \dfrac{3}{4}a^2 = \dfrac{1}{4}a^2$
对于双曲线：$c_2^2 = a^2 + b^2 = a^2 + \dfrac{1}{4}a^2 = \dfrac{5}{4}a^2$
所以 $c_2 = \dfrac{\sqrt{5}}{2}a$
双曲线离心率：$e_2 = \dfrac{c_2}{a} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 有相同的焦点，且双曲线的离心率为 $2$，求双曲线方程。
椭圆：$a_1^2 = 25$，$b_1^2 = 9$，$c_1^2 = 25 - 9 = 16$，$c_1 = 4$
焦点为 $(\pm 4, 0)$
双曲线有相同焦点，所以 $c = 4$
由离心率 $e = \dfrac{c}{a} = 2$，得 $a = \dfrac{c}{2} = 2$
$b^2 = c^2 - a^2 = 16 - 4 = 12$
双曲线方程：$\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{12} = 1$
已知 $F_1(-4, 0)$，$F_2(4, 0)$，动点 $P$ 满足 $|PF_1| + |PF_2| = 10$，求 $P$ 的轨迹方程。
验证条件：$|F_1F_2| = 8$，$2a = 10$，$2c = 8$
因为 $2a > 2c > 0$（$10 > 8$），满足椭圆定义
所以 $a = 5$，$c = 4$，$b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 16 = 9$
轨迹方程：$\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
已知 $F_1(-5, 0)$，$F_2(5, 0)$，动点 $P$ 满足 $\big||PF_1| - |PF_2|\big| = 6$，求 $P$ 的轨迹方程。
验证条件：$|F_1F_2| = 10$，$2a = 6$，$2c = 10$
因为 $0 < 2a < 2c$（$6 < 10$），满足双曲线定义
所以 $a = 3$，$c = 5$，$b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16$
轨迹方程：$\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$
已知双曲线过点 $(3\sqrt{2}, 2)$，且一条渐近线方程为 $y = \dfrac{2}{3}x$，求双曲线方程。
由渐近线 $y = \dfrac{2}{3}x$，得 $\dfrac{b}{a} = \dfrac{2}{3}$，即 $b = \dfrac{2}{3}a$
情况1：焦点在 $x$ 轴，设方程为 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
代入点 $(3\sqrt{2}, 2)$：$\dfrac{18}{a^2} - \dfrac{4}{b^2} = 1$
将 $b = \dfrac{2}{3}a$ 代入：$\dfrac{18}{a^2} - \dfrac{4}{\frac{4}{9}a^2} = 1$
$\dfrac{18}{a^2} - \dfrac{9}{a^2} = 1$，$\dfrac{9}{a^2} = 1$，$a^2 = 9$
$b^2 = \dfrac{4}{9} \times 9 = 4$
方程：$\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ ✓
情况2：焦点在 $y$ 轴，设方程为 $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$
渐近线为 $y = \pm\dfrac{a}{b}x$，所以 $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{3}$，$a = \dfrac{2}{3}b$
代入点 $(3\sqrt{2}, 2)$：$\dfrac{4}{a^2} - \dfrac{18}{b^2} = 1$
将 $a = \dfrac{2}{3}b$ 代入：$\dfrac{4}{\frac{4}{9}b^2} - \dfrac{18}{b^2} = 1$
$\dfrac{9}{b^2} - \dfrac{18}{b^2} = 1$，$-\dfrac{9}{b^2} = 1$，无解
所以双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$
已知 $P$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 上的动点，$M$ 为 $P$ 到 $x$ 轴的垂足，且 $\overrightarrow{PM} = 2\overrightarrow{MN}$（$N$ 在 $PM$ 的延长线上），求 $N$ 的轨迹方程。
设 $P(x_0, y_0)$，则 $M(x_0, 0)$
设 $N(x, y)$，由 $\overrightarrow{PM} = 2\overrightarrow{MN}$：
$\overrightarrow{PM} = (x_0 - x_0, 0 - y_0) = (0, -y_0)$
$\overrightarrow{MN} = (x - x_0, y - 0) = (x - x_0, y)$
由 $(0, -y_0) = 2(x - x_0, y)$：
$0 = 2(x - x_0)$，所以 $x = x_0$
$-y_0 = 2y$，所以 $y_0 = -2y$
因为 $P(x_0, y_0)$ 在椭圆上：$\dfrac{x_0^2}{4} + y_0^2 = 1$
代入 $x_0 = x$，$y_0 = -2y$：$\dfrac{x^2}{4} + (-2y)^2 = 1$
$N$ 的轨迹方程：$\dfrac{x^2}{4} + 4y^2 = 1$
$P$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 上的点，$F_1, F_2$ 是椭圆的两个焦点，若 $\angle F_1PF_2 = 60°$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。
椭圆：$a^2 = 9$，$b^2 = 4$，$c^2 = 5$
$a = 3$，$c = \sqrt{5}$，$|F_1F_2| = 2\sqrt{5}$
由椭圆定义：$|PF_1| + |PF_2| = 2a = 6$
设 $|PF_1| = m$，$|PF_2| = n$，则 $m + n = 6$
在 $\triangle F_1PF_2$ 中，由余弦定理：
$|F_1F_2|^2 = m^2 + n^2 - 2mn\cos 60°$
$20 = m^2 + n^2 - mn$
又 $m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn = 36 - 2mn$
$20 = 36 - 2mn - mn = 36 - 3mn$
$mn = \dfrac{16}{3}$
$S_{\triangle F_1PF_2} = \dfrac{1}{2}mn\sin 60° = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{16}{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A, B$ 两点，若 $|AF| + |BF| = 8$，求直线 $AB$ 的方程。
抛物线 $y^2 = 4x$，$2p = 4$，$p = 2$，焦点 $F(1, 0)$
由焦半径公式：$|AF| = x_1 + 1$，$|BF| = x_2 + 1$
$|AF| + |BF| = x_1 + x_2 + 2 = 8$，所以 $x_1 + x_2 = 6$
设直线 $AB$：$y = k(x - 1)$，代入 $y^2 = 4x$：
$k^2(x-1)^2 = 4x$
$k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$
$x_1 + x_2 = \dfrac{2k^2 + 4}{k^2} = 6$
$2k^2 + 4 = 6k^2$，$4k^2 = 4$，$k^2 = 1$，$k = \pm 1$
直线 $AB$ 的方程：$y = x - 1$ 或 $y = -x + 1$
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$，求以点 $M\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$ 为中点的弦所在直线的方程。
设弦的两端点为 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$
由中点条件：$x_1 + x_2 = 2$，$y_1 + y_2 = 1$
两点在椭圆上：
$\dfrac{x_1^2}{4} + y_1^2 = 1$ ①
$\dfrac{x_2^2}{4} + y_2^2 = 1$ ②
① - ②：$\dfrac{x_1^2 - x_2^2}{4} + (y_1^2 - y_2^2) = 0$
$\dfrac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{4} + (y_1+y_2)(y_1-y_2) = 0$
代入 $x_1 + x_2 = 2$，$y_1 + y_2 = 1$：
$\dfrac{2(x_1-x_2)}{4} + (y_1-y_2) = 0$
$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = -\dfrac{1}{2}$
所以直线斜率 $k = -\dfrac{1}{2}$
直线方程：$y - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$
$y = -\dfrac{1}{2}x + 1$，即 $x + 2y - 2 = 0$
已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$，直线 $l: y = x + m$。
(1) 若 $l$ 与 $C$ 有两个不同交点，求 $m$ 的取值范围；
(2) 若 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|AB| = \dfrac{4\sqrt{2}}{5} \cdot \sqrt{5}$，求 $m$ 的值。
(1) 联立 $\begin{cases} y = x + m \\ \dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1 \end{cases}$
代入：$\dfrac{x^2}{4} + (x+m)^2 = 1$
$\dfrac{x^2}{4} + x^2 + 2mx + m^2 = 1$
$\dfrac{5x^2}{4} + 2mx + m^2 - 1 = 0$
$5x^2 + 8mx + 4m^2 - 4 = 0$
有两个不同交点，需 $\Delta > 0$：
$\Delta = 64m^2 - 20(4m^2 - 4) = 64m^2 - 80m^2 + 80 = 80 - 16m^2 > 0$
$m^2 < 5$，$-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$
(2) 设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$
由韦达定理：$x_1 + x_2 = -\dfrac{8m}{5}$，$x_1 x_2 = \dfrac{4m^2 - 4}{5}$
$|x_1 - x_2|^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = \dfrac{64m^2}{25} - \dfrac{4(4m^2 - 4)}{5} = \dfrac{64m^2 - 80m^2 + 80}{25} = \dfrac{80 - 16m^2}{25}$
$|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{80 - 16m^2}}{5} = \dfrac{4\sqrt{2}\sqrt{5 - m^2}}{5}$
由题意 $|AB| = \dfrac{4\sqrt{2}}{5} \cdot \sqrt{5} = \dfrac{4\sqrt{10}}{5}$
$\dfrac{4\sqrt{2}\sqrt{5 - m^2}}{5} = \dfrac{4\sqrt{10}}{5}$
$\sqrt{5 - m^2} = \sqrt{5}$
$5 - m^2 = 5$，$m^2 = 0$，$m = 0$
1. $a^2 = 16$，$b^2 = 7$，$c^2 = 9$，$c = 3$
焦点坐标：$(\pm 3, 0)$，离心率：$e = \dfrac{3}{4}$
2. $a^2 = 9$，$b^2 = 16$，渐近线：$y = \pm\dfrac{4}{3}x$
$c^2 = 25$，$c = 5$，离心率：$e = \dfrac{5}{3}$
3. $2p = 8$，$p = 4$，焦点坐标：$(-2, 0)$，准线方程：$x = 2$
4. 过点 $(2, 0)$，所以 $a = 2$
$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}$，$c = 1$，$b^2 = 4 - 1 = 3$
椭圆方程：$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$
5. 渐近线 $y = \sqrt{3}x$，$\dfrac{b}{a} = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{3}a$
焦点 $(4, 0)$，$c = 4$，$c^2 = a^2 + b^2 = 4a^2 = 16$，$a^2 = 4$，$b^2 = 12$
双曲线方程：$\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{12} = 1$
6. 由抛物线定义，$p = 4$，焦点 $(2, 0)$，准线 $x = -2$
轨迹方程：$y^2 = 8x$
7. $a = 5$，$|PF_1| + |PF_2| = 10$
$|PF_2| = 10 - 3 = 7$
8. $2p = 6$，$p = 3$，$|AB| = x_1 + x_2 + p = x_1 + x_2 + 3 = 12$
$x_1 + x_2 = 9$
圆锥曲线
/ | \
椭圆 双曲线 抛物线
/ | \ / | \ / | \
定义 方程 性质 定义 方程 性质 定义 方程 性质
└────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┘
|
统一定义（焦点-准线）
离心率 e 分类
|
┌───────────────┼───────────────┐
| | |
求轨迹方程 几何性质应用 直线与曲线
├ 直接法 ├ 焦点三角形 ├ 联立方程
├ 定义法 ├ 离心率问题 ├ 韦达定理
├ 待定系数法 ├ 渐近线问题 ├ 弦长公式
└ 相关点法 └ 准线问题 └ 中点弦问题