回顾椭圆和双曲线的统一定义：平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为常数 $e$（离心率）的点的轨迹。
抛物线是圆锥曲线中离心率恰好等于 1 的特殊情况。
平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$（$F$ 不在 $l$ 上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中 $d(P, l)$ 表示点 $P$ 到直线 $l$ 的距离。
设焦点到准线的距离为 $p$（$p > 0$）。
以过焦点 $F$ 且垂直于准线 $l$ 的直线为 $x$ 轴（或 $y$ 轴），以焦点到准线的中点为原点建立坐标系。
以 $y^2 = 2px$ 为例：
设焦点 $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$，准线 $l: x = -\dfrac{p}{2}$。
设 $P(x, y)$ 为抛物线上任意一点，由定义 $|PF| = d(P, l)$：
两边平方：
| 图形特征 | 标准方程 | 焦点坐标 | 准线方程 | 开口方向 |
|---|---|---|---|---|
| 开口向右 | $y^2 = 2px$ | $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$ | $x = -\dfrac{p}{2}$ | 右 |
| 开口向左 | $y^2 = -2px$ | $F\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)$ | $x = \dfrac{p}{2}$ | 左 |
| 开口向上 | $x^2 = 2py$ | $F\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$ | $y = -\dfrac{p}{2}$ | 上 |
| 开口向下 | $x^2 = -2py$ | $F\left(0, -\dfrac{p}{2}\right)$ | $y = \dfrac{p}{2}$ | 下 |
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 范围 | $x \geq 0$，$y \in \mathbb{R}$ |
| 对称性 | 关于 $x$ 轴对称 |
| 顶点 | 原点 $O(0, 0)$ |
| 离心率 | $e = 1$ |
| 焦半径 | $|PF| = x_0 + \dfrac{p}{2}$ |
定义：过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径。
对于 $y^2 = 2px$，通径端点为 $\left(\dfrac{p}{2}, p\right)$ 和 $\left(\dfrac{p}{2}, -p\right)$。
性质：通径是所有过焦点的弦中最短的。
对于抛物线 $y^2 = 2px$ 上的点 $P(x_0, y_0)$：
设抛物线 $y^2 = 2px$，过焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ 两点。
设直线 $AB$：$y = k\left(x - \dfrac{p}{2}\right)$，代入 $y^2 = 2px$：
联立抛物线方程与直线方程，通过判别式 $\Delta$ 判断。
设抛物线 $y^2 = 2px$，直线 $y = kx + b$，联立：
| 判别式 | 位置关系 |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | 相交（两个交点） |
| $\Delta = 0$ | 相切（一个交点） |
| $\Delta < 0$ | 相离（无交点） |
已知抛物线的焦点为 $F(2, 0)$，求抛物线的标准方程。
焦点在 $x$ 轴正半轴上，设抛物线方程为 $y^2 = 2px$。
焦点 $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right) = (2, 0)$，所以 $\dfrac{p}{2} = 2$，$p = 4$。
抛物线方程为 $y^2 = 8x$。
求抛物线 $x^2 = -6y$ 的焦点坐标和准线方程。
抛物线方程为 $x^2 = -6y$，形式为 $x^2 = -2py$。
所以 $2p = 6$，$p = 3$。
焦点 $F\left(0, -\dfrac{p}{2}\right) = \left(0, -\dfrac{3}{2}\right)$。
准线方程 $y = \dfrac{p}{2} = \dfrac{3}{2}$。
求抛物线 $y^2 = 10x$ 的通径长。
抛物线方程为 $y^2 = 10x$，形式为 $y^2 = 2px$。
所以 $2p = 10$，$p = 5$。
通径长 $= 2p = 10$。
已知抛物线 $y^2 = 8x$ 上的点 $P$ 到焦点的距离为 $5$，求点 $P$ 的横坐标。
抛物线方程为 $y^2 = 8x$，形式为 $y^2 = 2px$。
所以 $2p = 8$，$p = 4$。
由焦半径公式：$|PF| = x_0 + \dfrac{p}{2} = x_0 + 2$。
已知 $|PF| = 5$，所以 $x_0 + 2 = 5$，$x_0 = 3$。
点 $P$ 的横坐标为 $3$。
已知抛物线的准线方程为 $y = 1$，求抛物线的标准方程。
准线为 $y = 1$，说明抛物线开口向下，形式为 $x^2 = -2py$。
准线方程 $y = \dfrac{p}{2} = 1$，所以 $p = 2$。
抛物线方程为 $x^2 = -4y$。
判断直线 $y = x + 1$ 与抛物线 $y^2 = 4x$ 的位置关系。
联立方程组：
$$\begin{cases} y = x + 1 \\ y^2 = 4x \end{cases}$$
将 $y = x + 1$ 代入 $y^2 = 4x$：
$$(x + 1)^2 = 4x$$
$$x^2 + 2x + 1 = 4x$$
$$x^2 - 2x + 1 = 0$$
判别式 $\Delta = 4 - 4 = 0$。
所以直线与抛物线相切。
过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点作直线交抛物线于 $A$、$B$ 两点，若 $A$、$B$ 的横坐标之和为 $6$，求 $|AB|$。
抛物线方程为 $y^2 = 4x$，形式为 $y^2 = 2px$。
所以 $2p = 4$，$p = 2$。
由焦点弦长公式：$|AB| = x_1 + x_2 + p$。
已知 $x_1 + x_2 = 6$，所以 $|AB| = 6 + 2 = 8$。
已知点 $P$ 到点 $F(1, 0)$ 的距离等于它到直线 $x = -1$ 的距离，求点 $P$ 的轨迹方程。
设点 $P(x, y)$。
点 $P$ 到 $F(1, 0)$ 的距离：$|PF| = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$。
点 $P$ 到直线 $x = -1$ 的距离：$d = |x + 1|$。
由题意 $|PF| = d$：
$$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = |x + 1|$$
两边平方：
$$(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2$$
$$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1$$
$$y^2 = 4x$$
点 $P$ 的轨迹方程为 $y^2 = 4x$（抛物线）。
过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ 两点，求 $y_1 y_2$ 的值。
抛物线方程为 $y^2 = 4x$，$p = 2$。
由焦点弦性质：$y_1 y_2 = -p^2 = -4$。
证明：
设直线 $AB$：$y = k(x - 1)$，代入 $y^2 = 4x$：
$$k^2(x-1)^2 = 4x$$
$$k^2 x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$
由韦达定理：$x_1 x_2 = \dfrac{k^2}{k^2} = 1$。
又 $y_1 = k(x_1 - 1)$，$y_2 = k(x_2 - 1)$，所以：
$$y_1 y_2 = k^2(x_1 - 1)(x_2 - 1) = k^2[x_1 x_2 - (x_1 + x_2) + 1]$$
由韦达定理：$x_1 + x_2 = \dfrac{2k^2 + 4}{k^2}$。
代入得：$y_1 y_2 = k^2\left[1 - \dfrac{2k^2 + 4}{k^2} + 1\right] = k^2 \cdot \dfrac{-4}{k^2} = -4$。
已知直线 $l: y = 2x - 4$ 与抛物线 $y^2 = 4x$ 相交于 $A$、$B$ 两点，求 $|AB|$。
联立方程组：
$$\begin{cases} y = 2x - 4 \\ y^2 = 4x \end{cases}$$
代入得：$(2x - 4)^2 = 4x$。
$$4x^2 - 16x + 16 = 4x$$
$$4x^2 - 20x + 16 = 0$$
$$x^2 - 5x + 4 = 0$$
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = 4$。
对应的 $y$ 值：$y_1 = -2$，$y_2 = 4$。
所以 $A(1, -2)$，$B(4, 4)$。
弦长：$|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (4-(-2))^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$。
已知抛物线 $y^2 = 6x$，求以点 $M(3, 3)$ 为中点的弦所在直线的方程。
设弦的两端点为 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$。
由中点条件：$x_1 + x_2 = 6$，$y_1 + y_2 = 6$。
因为 $A$、$B$ 在抛物线上：
$$y_1^2 = 6x_1 \quad (1)$$
$$y_2^2 = 6x_2 \quad (2)$$
$(1) - (2)$：$y_1^2 - y_2^2 = 6(x_1 - x_2)$。
$$(y_1 + y_2)(y_1 - y_2) = 6(x_1 - x_2)$$
代入 $y_1 + y_2 = 6$：
$$6(y_1 - y_2) = 6(x_1 - x_2)$$
$$\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = 1$$
所以弦的斜率 $k = 1$。
直线方程为：$y - 3 = 1 \cdot (x - 3)$，即 $y = x$。
检验：联立 $y = x$ 与 $y^2 = 6x$，得 $x^2 = 6x$，$x(x - 6) = 0$。
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 6$，对应 $y_1 = 0$，$y_2 = 6$。
中点为 $\left(\dfrac{0+6}{2}, \dfrac{0+6}{2}\right) = (3, 3)$，符合题意。
过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A$、$B$ 两点，若 $|AF| = 3$，求 $\triangle AOB$ 的面积（$O$ 为原点）。
抛物线方程为 $y^2 = 4x$，$p = 2$，焦点 $F(1, 0)$。
设 $A(x_1, y_1)$，由焦半径公式：$|AF| = x_1 + 1 = 3$，所以 $x_1 = 2$。
代入 $y^2 = 4x$：$y_1^2 = 8$，$y_1 = \pm 2\sqrt{2}$。
不妨设 $y_1 = 2\sqrt{2}$，则 $A(2, 2\sqrt{2})$。
直线 $AF$ 的斜率：$k = \dfrac{2\sqrt{2} - 0}{2 - 1} = 2\sqrt{2}$。
直线 $AB$ 的方程：$y = 2\sqrt{2}(x - 1)$。
联立求 $B$ 点：
$$[2\sqrt{2}(x - 1)]^2 = 4x$$
$$8(x - 1)^2 = 4x$$
$$8x^2 - 16x + 8 = 4x$$
$$8x^2 - 20x + 8 = 0$$
$$2x^2 - 5x + 2 = 0$$
$$(2x - 1)(x - 2) = 0$$
解得 $x = \dfrac{1}{2}$ 或 $x = 2$。
$x_2 = \dfrac{1}{2}$，$y_2 = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{2} - 1\right) = -\sqrt{2}$。
所以 $B\left(\dfrac{1}{2}, -\sqrt{2}\right)$。
$\triangle AOB$ 的面积：
$$S = \dfrac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1| = \dfrac{1}{2} \left|2 \cdot (-\sqrt{2}) - \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2}\right| = \dfrac{1}{2} \left|-2\sqrt{2} - \sqrt{2}\right| = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$$
抛物线
├── 定义：|PF| = d(P, l)
├── 四种标准方程
│ ├── y² = 2px（开口向右）
│ ├── y² = -2px（开口向左）
│ ├── x² = 2py（开口向上）
│ └── x² = -2py（开口向下）
├── 几何性质
│ ├── 顶点、对称轴、离心率 e=1
│ ├── 通径长 = 2p
│ └── 焦半径 |PF| = x₀ + p/2
├── 焦点弦
│ ├── 弦长 |AB| = x₁ + x₂ + p
│ └── y₁y₂ = -p²，x₁x₂ = p²/4
└── 与直线位置关系：联立 + 判别式