回顾椭圆的定义：平面内到两定点 $F_1, F_2$ 的距离之和等于常数 $2a$（$2a < |F_1F_2|$）的点的轨迹。
思考：如果把"和"改成"差"，轨迹会变成什么？
平面内到两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数 $2a$（$0 < 2a < |F_1F_2|$）的点的轨迹叫做双曲线。
平面内到定点 $F$ 的距离与到定直线 $l$（准线）的距离之比为常数 $e$（$e > 1$）的点的轨迹是双曲线。
设 $F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$，$P(x, y)$ 满足 $\big||PF_1| - |PF_2|\big| = 2a$：
移项、平方、化简，令 $b^2 = c^2 - a^2$（$b > 0$），得：
| 焦点位置 | 标准方程 | 焦点坐标 | 顶点 |
|---|---|---|---|
| $x$ 轴 | $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ | $F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$ | $(\pm a, 0)$ |
| $y$ 轴 | $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ | $F_1(0, -c), F_2(0, c)$ | $(0, \pm a)$ |
与椭圆对比：
| 曲线 | 关系 | 最大参数 |
|---|---|---|
| 椭圆 | $a^2 = b^2 + c^2$ | $a$ 最大 |
| 双曲线 | $c^2 = a^2 + b^2$ | $c$ 最大 |
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 范围 | $|x| \geq a$，$y \in \mathbb{R}$ |
| 对称性 | 关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点对称 |
| 顶点 | $(\pm a, 0)$ |
| 实轴 | 长 $2a$，半实轴 $a$ |
| 虚轴 | 长 $2b$，半虚轴 $b$ |
| 离心率 | $e = \dfrac{c}{a}$（$e > 1$） |
焦点在 $x$ 轴：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的渐近线：
焦点在 $y$ 轴：$\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ 的渐近线：
记忆技巧：将方程右边的 $1$ 换成 $0$，即得渐近线方程。
共渐近线的双曲线系：与 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 共渐近线的双曲线可设为：
过焦点且垂直于实轴的弦，通径长 $= \dfrac{2b^2}{a}$
设直线 $y = kx + m$，双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，联立：
分类讨论：
| 情况 | 条件 | 交点数 |
|---|---|---|
| $b^2 - a^2k^2 = 0$（$k = \pm\dfrac{b}{a}$） | 直线平行于渐近线 | 0 或 1 |
| $b^2 - a^2k^2 \neq 0$，$\Delta > 0$ | 相交 | 2 |
| $b^2 - a^2k^2 \neq 0$，$\Delta = 0$ | 相切 | 1 |
| $b^2 - a^2k^2 \neq 0$，$\Delta < 0$ | 相离 | 0 |
当 $b^2 - a^2k^2 \neq 0$ 时：
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$，求：
(1) 实半轴长、虚半轴长；
(2) 焦点坐标；
(3) 渐近线方程；
(4) 离心率。
由双曲线方程可知：$a^2 = 9$，$b^2 = 16$，所以 $a = 3$，$b = 4$。
由 $c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$，得 $c = 5$。
(1) 实半轴长 $a = 3$，虚半轴长 $b = 4$。
(2) 焦点在 $x$ 轴上，焦点坐标为 $F_1(-5, 0)$，$F_2(5, 0)$。
(3) 渐近线方程为 $y = \pm\dfrac{b}{a}x = \pm\dfrac{4}{3}x$。
(4) 离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{3}$。
求满足下列条件的双曲线标准方程：
(1) $a = 4, b = 3$，焦点在 $x$ 轴上；
(2) $a = 5, c = 13$，焦点在 $y$ 轴上。
(1) 焦点在 $x$ 轴上，$a = 4$，$b = 3$，所以双曲线方程为：
$$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$$
(2) 焦点在 $y$ 轴上，$a = 5$，$c = 13$。
由 $c^2 = a^2 + b^2$，得 $169 = 25 + b^2$，所以 $b^2 = 144$。
双曲线方程为：
$$\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{144} = 1$$
已知双曲线的焦点为 $F_1(-5, 0), F_2(5, 0)$，双曲线上一点 $P$ 到两焦点的距离之差为 $6$，求双曲线的标准方程。
由焦点坐标可知，焦点在 $x$ 轴上，$c = 5$。
由题意，$||PF_1| - |PF_2|| = 6$，所以 $2a = 6$，$a = 3$。
由 $c^2 = a^2 + b^2$，得 $25 = 9 + b^2$，所以 $b^2 = 16$。
双曲线标准方程为：
$$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$$
求下列双曲线的渐近线方程：
(1) $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1$
(2) $\dfrac{y^2}{16} - \dfrac{x^2}{25} = 1$
(3) $x^2 - y^2 = 1$
(1) 焦点在 $x$ 轴上，$a^2 = 4$，$b^2 = 9$，所以 $a = 2$，$b = 3$。
渐近线方程为 $y = \pm\dfrac{b}{a}x = \pm\dfrac{3}{2}x$。
(2) 焦点在 $y$ 轴上，$a^2 = 16$，$b^2 = 25$，所以 $a = 4$，$b = 5$。
渐近线方程为 $y = \pm\dfrac{a}{b}x = \pm\dfrac{4}{5}x$。
(3) 这是等轴双曲线，$a^2 = 1$，$b^2 = 1$，所以 $a = 1$，$b = 1$。
渐近线方程为 $y = \pm\dfrac{b}{a}x = \pm x$。
已知双曲线的渐近线方程为 $y = \pm\dfrac{3}{4}x$，且双曲线经过点 $(4, \sqrt{7})$，求双曲线的标准方程。
由渐近线方程 $y = \pm\dfrac{3}{4}x$，可知 $\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{4}$（焦点在 $x$ 轴）或 $\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4}$（焦点在 $y$ 轴）。
情况1：焦点在 $x$ 轴上，$\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{4}$，设 $a = 4k$，$b = 3k$。
双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{16k^2} - \dfrac{y^2}{9k^2} = 1$。
代入点 $(4, \sqrt{7})$：
$$\frac{16}{16k^2} - \frac{7}{9k^2} = 1$$
$$\frac{1}{k^2} - \frac{7}{9k^2} = 1$$
$$\frac{9 - 7}{9k^2} = 1$$
$$\frac{2}{9k^2} = 1$$
$$k^2 = \frac{2}{9}$$
所以 $a^2 = 16k^2 = \dfrac{32}{9}$，$b^2 = 9k^2 = 2$。
双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{\frac{32}{9}} - \dfrac{y^2}{2} = 1$，即 $\dfrac{9x^2}{32} - \dfrac{y^2}{2} = 1$。
情况2：焦点在 $y$ 轴上，$\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4}$，设 $a = 3k$，$b = 4k$。
双曲线方程为 $\dfrac{y^2}{9k^2} - \dfrac{x^2}{16k^2} = 1$。
代入点 $(4, \sqrt{7})$：
$$\frac{7}{9k^2} - \frac{16}{16k^2} = 1$$
$$\frac{7}{9k^2} - \frac{1}{k^2} = 1$$
$$\frac{7 - 9}{9k^2} = 1$$
$$\frac{-2}{9k^2} = 1$$
此方程无解（$k^2 > 0$）。
所以双曲线标准方程为：
$$\frac{9x^2}{32} - \frac{y^2}{2} = 1$$
(1) 双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的一条渐近线为 $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x$，求离心率。
(2) 双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{m} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{2}$，求 $m$ 的值。
(1) 由渐近线 $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x$，可知 $\dfrac{b}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
所以 $b = \dfrac{\sqrt{3}}{3}a$，$b^2 = \dfrac{1}{3}a^2$。
由 $c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + \dfrac{1}{3}a^2 = \dfrac{4}{3}a^2$。
离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \sqrt{\dfrac{c^2}{a^2}} = \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。
(2) 由双曲线方程可知 $a^2 = 4$，$b^2 = m$。
由 $c^2 = a^2 + b^2 = 4 + m$。
离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \sqrt{2}$，所以 $\dfrac{c^2}{a^2} = 2$。
$$\frac{4 + m}{4} = 2$$
$$4 + m = 8$$
$$m = 4$$
双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ 的两个焦点为 $F_1, F_2$，点 $P$ 在双曲线上，$\angle F_1PF_2 = 60°$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。
由双曲线方程可知：$a^2 = 9$，$b^2 = 16$，所以 $a = 3$，$b = 4$。
$c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$，所以 $c = 5$。
焦距 $|F_1F_2| = 2c = 10$。
设 $|PF_1| = r_1$，$|PF_2| = r_2$，不妨设 $r_1 > r_2$。
由双曲线定义：$r_1 - r_2 = 2a = 6$。
在 $\triangle F_1PF_2$ 中，由余弦定理：
$$|F_1F_2|^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos 60°$$
$$100 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cdot \frac{1}{2}$$
$$100 = r_1^2 + r_2^2 - r_1r_2$$
又 $(r_1 - r_2)^2 = 36$，即 $r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 = 36$。
两式相减：
$$100 - 36 = (r_1^2 + r_2^2 - r_1r_2) - (r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2)$$
$$64 = r_1r_2$$
所以 $\triangle F_1PF_2$ 的面积为：
$$S = \frac{1}{2}r_1r_2\sin 60° = \frac{1}{2} \times 64 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}$$
判断直线 $y = x + 1$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的位置关系。
将 $y = x + 1$ 代入双曲线方程：
$$\frac{x^2}{4} - \frac{(x+1)^2}{9} = 1$$
$$9x^2 - 4(x+1)^2 = 36$$
$$9x^2 - 4(x^2 + 2x + 1) = 36$$
$$9x^2 - 4x^2 - 8x - 4 = 36$$
$$5x^2 - 8x - 40 = 0$$
判别式 $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 5 \times (-40) = 64 + 800 = 864 > 0$。
又 $b^2 - a^2k^2 = 9 - 4 \times 1^2 = 5 \neq 0$。
所以直线与双曲线相交，有两个交点。
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 与双曲线共焦点，且双曲线的实轴长为 $6$，求双曲线的标准方程。
由椭圆方程可知：$a^2 = 25$，$b^2 = 9$。
$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$，所以 $c = 4$。
椭圆的焦点为 $(\pm 4, 0)$，在 $x$ 轴上。
因为双曲线与椭圆共焦点，所以双曲线的焦点也为 $(\pm 4, 0)$，$c = 4$。
由题意，双曲线的实轴长为 $6$，所以 $2a = 6$，$a = 3$。
由 $c^2 = a^2 + b^2$，得 $16 = 9 + b^2$，所以 $b^2 = 7$。
双曲线标准方程为：
$$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$$
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0, b > 0$）的一条渐近线与直线 $x + 2y - 1 = 0$ 垂直，求双曲线的离心率。
直线 $x + 2y - 1 = 0$ 的斜率为 $k_1 = -\dfrac{1}{2}$。
因为渐近线与该直线垂直，所以渐近线的斜率 $k_2 = 2$。
双曲线的渐近线为 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$，所以 $\dfrac{b}{a} = 2$，即 $b = 2a$。
由 $c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2$。
离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \sqrt{\dfrac{c^2}{a^2}} = \sqrt{5}$。
设双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0, b > 0$）的右焦点为 $F$，右顶点为 $A$，过 $F$ 作渐近线的垂线，垂足为 $H$。若 $|FH| = \dfrac{\sqrt{3}}{2}|OA|$（$O$ 为原点），求双曲线的离心率。
右焦点 $F(c, 0)$，右顶点 $A(a, 0)$，所以 $|OA| = a$。
双曲线的渐近线为 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$，即 $bx \pm ay = 0$。
不妨取渐近线 $bx - ay = 0$。
点 $F(c, 0)$ 到渐近线 $bx - ay = 0$ 的距离为：
$$|FH| = \frac{|bc - a \cdot 0|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{bc}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{bc}{c} = b$$
由题意 $|FH| = \dfrac{\sqrt{3}}{2}|OA|$，即 $b = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a$。
所以 $b^2 = \dfrac{3}{4}a^2$。
由 $c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + \dfrac{3}{4}a^2 = \dfrac{7}{4}a^2$。
离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \sqrt{\dfrac{c^2}{a^2}} = \sqrt{\dfrac{7}{4}} = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$。
实半轴长 $a = 4$，虚半轴长 $b = 3$。
$c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25$，所以 $c = 5$。
焦点坐标为 $(\pm 5, 0)$。
渐近线方程为 $y = \pm\dfrac{b}{a}x = \pm\dfrac{3}{4}x$。
离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{4}$。
由焦点坐标可知，焦点在 $y$ 轴上，$c = 5$。
已知 $a = 3$，由 $c^2 = a^2 + b^2$，得 $25 = 9 + b^2$，所以 $b^2 = 16$。
双曲线标准方程为：
$$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$$
将方程两边除以 $4$：
$$x^2 - \frac{y^2}{4} = 1$$
即 $\dfrac{x^2}{1} - \dfrac{y^2}{4} = 1$。
这里 $a^2 = 1$，$b^2 = 4$，所以 $a = 1$，$b = 2$。
渐近线方程为 $y = \pm\dfrac{b}{a}x = \pm 2x$。
由双曲线方程可知 $a^2 = 9$，$b^2 = m$。
由 $c^2 = a^2 + b^2 = 9 + m$。
离心率 $e = \dfrac{c}{a} = 2$，所以 $\dfrac{c^2}{a^2} = 4$。
$$\frac{9 + m}{9} = 4$$
$$9 + m = 36$$
$$m = 27$$
渐近线为 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$。
两条渐近线互相垂直，所以 $\dfrac{b}{a} \cdot \left(-\dfrac{b}{a}\right) = -1$。
即 $\dfrac{b^2}{a^2} = 1$，所以 $b^2 = a^2$。
由 $c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$。
离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \sqrt{\dfrac{c^2}{a^2}} = \sqrt{2}$。
双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的渐近线为 $y = \pm\dfrac{3}{2}x$。
与它有相同渐近线的双曲线可设为 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = \lambda$（$\lambda \neq 0$）。
代入点 $(6, 3\sqrt{5})$：
$$\frac{36}{4} - \frac{45}{9} = \lambda$$
$$9 - 5 = \lambda$$
$$\lambda = 4$$
所以双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 4$。
化为标准形式：$\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{36} = 1$。
由双曲线方程可知：$a^2 = 25$，$b^2 = 144$，所以 $a = 5$，$b = 12$。
$c^2 = a^2 + b^2 = 25 + 144 = 169$，所以 $c = 13$。
设 $P$ 到左焦点的距离为 $r_1$，到右焦点的距离为 $r_2 = 10$。
由双曲线定义：$|r_1 - r_2| = 2a = 10$。
因为 $P$ 到右焦点的距离为 $10$，所以 $r_1 - 10 = \pm 10$。
若 $r_1 - 10 = 10$，则 $r_1 = 20$。
若 $r_1 - 10 = -10$，则 $r_1 = 0$（不可能，因为 $P$ 不在焦点上）。
所以 $P$ 到左焦点的距离为 $20$。
将 $y = 2x + 3$ 代入双曲线方程：
$$\frac{x^2}{9} - \frac{(2x+3)^2}{4} = 1$$
$$4x^2 - 9(2x+3)^2 = 36$$
$$4x^2 - 9(4x^2 + 12x + 9) = 36$$
$$4x^2 - 36x^2 - 108x - 81 = 36$$
$$-32x^2 - 108x - 117 = 0$$
$$32x^2 + 108x + 117 = 0$$
判别式 $\Delta = 108^2 - 4 \times 32 \times 117 = 11664 - 14976 = -3312 < 0$。
所以方程无实数解，直线与双曲线没有交点。
双曲线
├── 定义：||PF₁| - |PF₂|| = 2a（0 < 2a < 2c）
├── 标准方程
│ ├── 焦点在x轴：x²/a² - y²/b² = 1
│ └── 焦点在y轴：y²/a² - x²/b² = 1
├── a, b, c 关系：c² = a² + b²
├── 几何性质
│ ├── 渐近线：y = ±(b/a)x（焦点在x轴）
│ ├── 离心率：e = c/a > 1
│ └── 通径：2b²/a
└── 与直线位置关系：联立 + 判别式（注意平行渐近线）