第9课：双曲线

一、知识导入

回顾椭圆的定义：平面内到两定点 $F_1, F_2$ 的距离之和等于常数 $2a$（$2a < |F_1F_2|$）的点的轨迹。

思考：如果把"和"改成"差"，轨迹会变成什么？

二、双曲线的定义

2.1 第一定义

平面内到两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数 $2a$（$0 < 2a < |F_1F_2|$）的点的轨迹叫做双曲线。

$$\big||PF_1| - |PF_2|\big| = 2a \quad (0 < 2a < 2c)$$

焦点：$F_1, F_2$，焦距 $|F_1F_2| = 2c$
关键条件：$0 < 2a < 2c$（即 $a < c$）

注意：

去掉绝对值：$|PF_1| - |PF_2| = 2a$ 仅表示双曲线的右支
$|PF_2| - |PF_1| = 2a$ 仅表示双曲线的左支
若 $2a = 2c$，轨迹为两条射线；若 $2a > 2c$，轨迹不存在

2.2 第二定义（焦点准线定义）

平面内到定点 $F$ 的距离与到定直线 $l$（准线）的距离之比为常数 $e$（$e > 1$）的点的轨迹是双曲线。

$$\frac{|PF|}{d(P, l)} = e \quad (e > 1)$$

三、双曲线的标准方程

3.1 方程推导（焦点在 $x$ 轴）

设 $F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$，$P(x, y)$ 满足 $\big||PF_1| - |PF_2|\big| = 2a$：

$$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} - \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = \pm 2a$$

移项、平方、化简，令 $b^2 = c^2 - a^2$（$b > 0$），得：

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, b > 0)$$

3.2 两种标准方程

焦点位置	标准方程	焦点坐标	顶点
$x$ 轴	$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$	$(\pm a, 0)$
$y$ 轴	$\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$	$F_1(0, -c), F_2(0, c)$	$(0, \pm a)$

3.3 $a, b, c$ 的关系

$$\boxed{c^2 = a^2 + b^2}$$

与椭圆对比：

曲线	关系	最大参数
椭圆	$a^2 = b^2 + c^2$	$a$ 最大
双曲线	$c^2 = a^2 + b^2$	$c$ 最大

判断焦点在哪个轴：看正项！$x^2$ 项为正 → 焦点在 $x$ 轴；$y^2$ 项为正 → 焦点在 $y$ 轴。

四、双曲线的几何性质

4.1 基本性质（焦点在 $x$ 轴为例）

性质	内容
范围	$\|x\| \geq a$，$y \in \mathbb{R}$
对称性	关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点对称
顶点	$(\pm a, 0)$
实轴	长 $2a$，半实轴 $a$
虚轴	长 $2b$，半虚轴 $b$
离心率	$e = \dfrac{c}{a}$（$e > 1$）

4.2 渐近线

焦点在 $x$ 轴：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的渐近线：

$$y = \pm \frac{b}{a} x$$

焦点在 $y$ 轴：$\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ 的渐近线：

$$y = \pm \frac{a}{b} x$$

记忆技巧：将方程右边的 $1$ 换成 $0$，即得渐近线方程。

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0 \implies y = \pm\frac{b}{a}x$$

共渐近线的双曲线系：与 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 共渐近线的双曲线可设为：

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \lambda \quad (\lambda \neq 0)$$

4.3 离心率

$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \quad (e > 1)$$

$e$ 越大 → 双曲线开口越宽
$e$ 越接近 $1$ → 双曲线开口越窄
等轴双曲线（$a = b$）：$e = \sqrt{2}$，渐近线 $y = \pm x$

4.4 通径

过焦点且垂直于实轴的弦，通径长 $= \dfrac{2b^2}{a}$

五、直线与双曲线的位置关系

5.1 判断方法

设直线 $y = kx + m$，双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，联立：

$$(b^2 - a^2k^2)x^2 - 2a^2kmx - a^2(m^2 + b^2) = 0$$

分类讨论：

情况	条件	交点数
$b^2 - a^2k^2 = 0$（$k = \pm\dfrac{b}{a}$）	直线平行于渐近线	0 或 1
$b^2 - a^2k^2 \neq 0$，$\Delta > 0$	相交	2
$b^2 - a^2k^2 \neq 0$，$\Delta = 0$	相切	1
$b^2 - a^2k^2 \neq 0$，$\Delta < 0$	相离	0

重要：直线平行于渐近线时，与双曲线最多只有 1个交点（不是相切！）

5.2 韦达定理

当 $b^2 - a^2k^2 \neq 0$ 时：

$$x_1 + x_2 = \frac{2a^2km}{b^2 - a^2k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{-a^2(m^2 + b^2)}{b^2 - a^2k^2}$$

六、典型例题

【例题1】求双曲线的基本量

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$，求：

(1) 实半轴长、虚半轴长；

(2) 焦点坐标；

(3) 渐近线方程；

(4) 离心率。

【例题2】求双曲线标准方程

求满足下列条件的双曲线标准方程：

(1) $a = 4, b = 3$，焦点在 $x$ 轴上；

(2) $a = 5, c = 13$，焦点在 $y$ 轴上。

【例题3】已知焦点和距离差求方程

已知双曲线的焦点为 $F_1(-5, 0), F_2(5, 0)$，双曲线上一点 $P$ 到两焦点的距离之差为 $6$，求双曲线的标准方程。

【例题4】求渐近线方程

求下列双曲线的渐近线方程：

(1) $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

(2) $\dfrac{y^2}{16} - \dfrac{x^2}{25} = 1$

(3) $x^2 - y^2 = 1$

【例题5】已知渐近线求方程

已知双曲线的渐近线方程为 $y = \pm\dfrac{3}{4}x$，且双曲线经过点 $(4, \sqrt{7})$，求双曲线的标准方程。

【例题6】求离心率

(1) 双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的一条渐近线为 $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x$，求离心率。

(2) 双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{m} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{2}$，求 $m$ 的值。

【例题7】焦点三角形面积

双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ 的两个焦点为 $F_1, F_2$，点 $P$ 在双曲线上，$\angle F_1PF_2 = 60°$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。

【例题8】判断位置关系

判断直线 $y = x + 1$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的位置关系。

【例题9】共焦点问题

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 与双曲线共焦点，且双曲线的实轴长为 $6$，求双曲线的标准方程。

【例题10】离心率问题

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0, b > 0$）的一条渐近线与直线 $x + 2y - 1 = 0$ 垂直，求双曲线的离心率。

【例题11】双曲线与向量综合

设双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0, b > 0$）的右焦点为 $F$，右顶点为 $A$，过 $F$ 作渐近线的垂线，垂足为 $H$。若 $|FH| = \dfrac{\sqrt{3}}{2}|OA|$（$O$ 为原点），求双曲线的离心率。

七、课堂练习

基础练习

1. 双曲线 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的实半轴长为____，虚半轴长为____，焦点坐标为____，渐近线方程为____，离心率为____。

2. 已知双曲线 $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ 的焦点为 $F_1(0, -5), F_2(0, 5)$，且 $a = 3$，求双曲线的标准方程。

3. 双曲线 $4x^2 - y^2 = 4$ 化为标准方程为____，渐近线方程为____。

4. 已知双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{m} = 1$ 的离心率 $e = 2$，则 $m = $____。

5. 双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的两条渐近线互相垂直，则离心率 $e = $____。

6. 与双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 有相同渐近线，且经过点 $(6, 3\sqrt{5})$ 的双曲线方程为____。

7. 双曲线 $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{144} = 1$ 上一点 $P$ 到右焦点的距离为 $10$，则 $P$ 到左焦点的距离为____。

8. 直线 $y = 2x + 3$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ 的交点个数为____。

八、课堂小结

知识框架

双曲线
├── 定义：||PF₁| - |PF₂|| = 2a（0 < 2a < 2c）
├── 标准方程
│   ├── 焦点在x轴：x²/a² - y²/b² = 1
│   └── 焦点在y轴：y²/a² - x²/b² = 1
├── a, b, c 关系：c² = a² + b²
├── 几何性质
│   ├── 渐近线：y = ±(b/a)x（焦点在x轴）
│   ├── 离心率：e = c/a > 1
│   └── 通径：2b²/a
└── 与直线位置关系：联立 + 判别式（注意平行渐近线）

易错点提醒

定义中忘记"绝对值" → $|PF_1| - |PF_2| = 2a$ 只是一支
$a^2, b^2$ 位置搞反 → $a^2$ 永远是正项的分母
$a,b,c$ 关系与椭圆混淆 → 双曲线 $c^2 = a^2 + b^2$，椭圆 $a^2 = b^2 + c^2$
渐近线斜率搞反 → 焦点在 $y$ 轴时渐近线 $y = \pm\dfrac{a}{b}x$（不是 $\dfrac{b}{a}$）
平行渐近线 ≠ 相切 → 直线平行渐近线时只有1个交点，但不是相切

九、课后作业

教材习题 3.2 第 1-8 题
求双曲线 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的渐近线方程和离心率
已知双曲线的渐近线为 $y = \pm 2x$，且经过点 $(1, 3)$，求双曲线方程
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$，求渐近线方程