第7课：直线与椭圆（上）

一、知识梳理

核心思想：联立直线方程与椭圆方程，通过判别式 $\Delta$ 判断位置关系。

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，直线 $y = kx + m$。

联立代入：将 $y = kx + m$ 代入椭圆方程：

$(b^2 + a^2k^2)x^2 + 2a^2kmx + a^2(m^2 - b^2) = 0$

判别式：$\Delta = 4a^2b^2(a^2k^2 + b^2 - m^2)$

相切条件：$m^2 = a^2k^2 + b^2$

第一步：设直线方程（注意斜率是否存在）

第二步：代入椭圆方程，整理为 $Ax^2 + Bx + C = 0$

第三步：计算判别式 $\Delta$，判断位置关系

第四步：若 $\Delta \geq 0$，利用韦达定理

题目未明确斜率时，必须讨论斜率不存在的情况！

设 $x_1, x_2$ 是一元二次方程的两个根：

$x_1 + x_2 = -\dfrac{2a^2km}{b^2 + a^2k^2}$，$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{a^2(m^2 - b^2)}{b^2 + a^2k^2}$

中点坐标：

$x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$，$y_0 = kx_0 + m$

$|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \dfrac{\sqrt{\Delta}}{|A|}$

斜率不存在时（$x = x_0$）：直接代入椭圆求 $y_1, y_2$，$|AB| = |y_1 - y_2|$

【例1】位置关系判断（基础）

判断直线 $y = x + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 的位置关系。

【例2】弦长计算（中等）

直线 $y = x + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，求 $|AB|$。

【例3】已知弦长求参数（提高）

已知直线 $y = kx + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{5} + y^2 = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，且 $|AB| = \dfrac{5\sqrt{2}}{3}$，求 $k$ 的值。

判断直线 $y = 2x + 3$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 的位置关系。

直线 $x = 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，求 $|AB|$。

求直线 $y = x$ 被椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 截得的弦长。

若直线 $y = kx + 2$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 相切，求 $k$ 的值。

直线 $y = kx + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{3} + y^2 = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，若 $AB$ 的中点横坐标为 $-\dfrac{3}{4}$，求 $k$ 的值。

过点 $P(1, 1)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，若 $P$ 为 $AB$ 的中点，求直线 $l$ 的方程。

知识点	要点
位置关系判定	联立 → 判别式 $\Delta$
相切条件	$m^2 = a^2k^2 + b^2$
韦达定理	$x_1 + x_2 = -\dfrac{B}{A}$，$x_1 x_2 = \dfrac{C}{A}$
弦长公式	$\|AB\| = \sqrt{1+k^2} \cdot \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\|A\|}$
中点坐标	$x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$