从标准方程 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 出发：
验证方法：将坐标代入方程，看方程是否改变。
| 对称类型 | 验证方式 | 结论 |
|---|---|---|
| 关于 $x$ 轴对称 | 将 $y$ 替换为 $-y$，方程不变 | ✓ |
| 关于 $y$ 轴对称 | 将 $x$ 替换为 $-x$，方程不变 | ✓ |
| 关于原点对称 | 同时将 $x, y$ 替换为 $-x, -y$，方程不变 | ✓ |
结论：
四个顶点坐标（焦点在 $x$ 轴）：
| 顶点 | 坐标 | 说明 |
|---|---|---|
| $A_1$ | $(-a, 0)$ | 左顶点（长轴左端点） |
| $A_2$ | $(a, 0)$ | 右顶点（长轴右端点） |
| $B_1$ | $(0, -b)$ | 下顶点（短轴下端点） |
| $B_2$ | $(0, b)$ | 上顶点（短轴上端点） |
长轴与短轴：
定义：椭圆的半焦距 $c$ 与长半轴 $a$ 的比值称为离心率，记作 $e$。
离心率的范围：$0 < e < 1$
离心率的几何意义：
| $e$ 的值 | 椭圆形状 | 直观理解 |
|---|---|---|
| $e \to 0$ | 接近圆形 | $c \to 0$，两焦点几乎重合 |
| $e \to 1$ | 非常扁平 | $c \to a$，$b \to 0$，椭圆被"压扁" |
| 性质 | 焦点在 $x$ 轴 | 焦点在 $y$ 轴 |
|---|---|---|
| 标准方程 | $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ | $\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ |
| 范围 | $-a \leq x \leq a$，$-b \leq y \leq b$ | $-b \leq x \leq b$，$-a \leq y \leq a$ |
| 长轴端点 | $(\pm a, 0)$ | $(0, \pm a)$ |
| 短轴端点 | $(0, \pm b)$ | $(\pm b, 0)$ |
| 对称轴 | $x$ 轴、$y$ 轴 | $x$ 轴、$y$ 轴 |
| 对称中心 | 原点 | 原点 |
| 焦点 | $(\pm c, 0)$ | $(0, \pm c)$ |
| 焦距 | $2c$ | $2c$ |
| 离心率 | $e = \dfrac{c}{a}$ | $e = \dfrac{c}{a}$ |
| $a, b, c$ 关系 | $a^2 = b^2 + c^2$ | $a^2 = b^2 + c^2$ |
求椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的短轴长等于焦距，求离心率。
已知椭圆的长轴长为 10，离心率为 $\dfrac{3}{5}$，求椭圆的标准方程。
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
(1) $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
(2) $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$
椭圆 $4x^2 + y^2 = 16$ 的长轴长为____，短轴长为____，焦点坐标为____，离心率为____。
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，求 $\dfrac{b}{a}$ 的值。
比较下列各组椭圆哪一个更圆：
(1) $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 与 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$
(2) $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 与 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1$
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的一个顶点为 $B(0, 2)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，求椭圆的标准方程。
已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 $(2, 1)$，求椭圆的标准方程。
椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 上一点 $P$ 到右焦点的距离为 4，求点 $P$ 到左焦点的距离，以及 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。
| 知识点 | 要点 |
|---|---|
| 范围 | $-a \leq x \leq a$，$-b \leq y \leq b$（有界性） |
| 对称性 | 关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点对称 |
| 顶点 | 四个顶点：$(\pm a, 0)$，$(0, \pm b)$ |
| 长轴/短轴 | 长轴长 $= 2a$，短轴长 $= 2b$ |
| 离心率 | $e = \dfrac{c}{a} = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}$，$0 < e < 1$ |
| 形状判断 | $e$ 越小越圆，$e$ 越大越扁 |