第5课：椭圆定义与标准方程

(1) 是椭圆，$16 > 9$，焦点在 $x$ 轴。$a = 4$，$b = 3$，$c = \sqrt{16-9} = \sqrt{7}$

(2) 是椭圆，$25 > 4$，焦点在 $y$ 轴。$a = 5$，$b = 2$，$c = \sqrt{25-4} = \sqrt{21}$

(3) 是椭圆，化为 $\dfrac{x^2}{1} + \dfrac{y^2}{1/2} = 1$，$1 > \dfrac{1}{2}$，焦点在 $x$ 轴。$a = 1$，$b = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$c = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

(4) 不是椭圆（这是双曲线方程，中间是减号）

$b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16$，$b = 4$

焦点在 $x$ 轴：$\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$

(1) $c = 4$，$a = 5$，$b^2 = 25 - 16 = 9$，焦点在 $x$ 轴：$\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

(2) $c = 2$，$b = 1$，$a^2 = b^2 + c^2 = 1 + 4 = 5$，焦点在 $y$ 轴：$\dfrac{y^2}{5} + x^2 = 1$

$a^2 = 25$，$a = 5$，$2a = 10$

由定义：$|PF_1| + |PF_2| = 10$

$|PF_2| = 10 - 6 = 4$

焦点在 $x$ 轴上，需要 $m > 4$（$x^2$ 的分母大于 $y^2$ 的分母）

同时需要 $m > 0$（保证是椭圆而非其他曲线）

综上：$m > 4$

设椭圆方程为 $mx^2 + ny^2 = 1$（$m > 0, n > 0$）

代入 $A(0, 2)$：$4n = 1 \implies n = \dfrac{1}{4}$

代入 $B(1, 0)$：$m = 1$

方程为 $x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1$，即 $x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1$

因为 $4 > 1$，$y^2$ 的分母更大，焦点在 $y$ 轴上。

标准形式：$\dfrac{y^2}{4} + x^2 = 1$，其中 $a = 2$，$b = 1$

$a = 5$，$b = 3$，$c = 4$，$2a = 10$

$|PF_1| + |PF_2| = 10$，$|PF_1| = 8$，$|PF_2| = 2$

验证：$|PF_1| + |PF_2| = 10 > 8 = 2c$ ✓（三角不等式满足）

用余弦定理求 $\angle F_1PF_2$：

$\cos\angle F_1PF_2 = \dfrac{|PF_1|^2 + |PF_2|^2 - |F_1F_2|^2}{2|PF_1||PF_2|} = \dfrac{64 + 4 - 64}{2 \times 8 \times 2} = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$

$\sin\angle F_1PF_2 = \sqrt{1 - \dfrac{1}{64}} = \dfrac{3\sqrt{7}}{8}$

$S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 2 \times \dfrac{3\sqrt{7}}{8} = \dfrac{3\sqrt{7}}{2}$

$B(0, 3)$ 是上顶点，所以 $b = 3$（假设焦点在 $x$ 轴上）

$F_1(-c, 0)$，$F_2(c, 0)$，$|F_1F_2| = 2c$

$|BF_1| = |BF_2| = \sqrt{c^2 + 9} = a$

$\triangle BF_1F_2$ 是等边三角形，所以 $|BF_1| = |F_1F_2|$：

$\sqrt{c^2 + 9} = 2c$

$c^2 + 9 = 4c^2 \implies 3c^2 = 9 \implies c^2 = 3$

$a^2 = b^2 + c^2 = 9 + 3 = 12$

椭圆方程：$\dfrac{x^2}{12} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

验证：$a^2 = 12 > b^2 = 9$，焦点在 $x$ 轴 ✓