设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r：
| 位置关系 | 几何条件 | 代数条件 |
|---|---|---|
| 相离 | d > r | Δ < 0（无交点） |
| 相切 | d = r | Δ = 0（一个交点） |
| 相交 | d < r | Δ > 0（两个交点） |
过圆上点的切线：
过圆外点的切线：
设两圆圆心距为 d，半径分别为 r₁, r₂（r₁ ≥ r₂）：
| 位置关系 | 条件 | 交点数 |
|---|---|---|
| 外离 | d > r₁ + r₂ | 0 |
| 外切 | d = r₁ + r₂ | 1 |
| 相交 | |r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂ | 2 |
| 内切 | d = |r₁ − r₂| | 1 |
| 内含 | d < |r₁ − r₂| | 0 |
公共弦问题：两圆相交时，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。
判断直线 l: 3x + 4y − 5 = 0 与圆 C: (x − 1)² + (y − 2)² = 9 的位置关系。
圆心 C(1, 2)，半径 r = 3
圆心到直线距离：d = |3×1 + 4×2 − 5| / √(3² + 4²) = |3 + 8 − 5| / 5 = 6/5 = 1.2
因为 d = 1.2 < 3 = r，所以直线与圆相交。
求直线 l: x − y + 1 = 0 被圆 C: x² + y² − 4x + 2y − 11 = 0 截得的弦长。
先将圆化为标准形式：(x − 2)² + (y + 1)² = 16，圆心 C(2, −1)，半径 r = 4
圆心到直线距离：d = |2 − (−1) + 1| / √(1² + 1²) = 4/√2 = 2√2
弦长 L = 2√(r² − d²) = 2√(16 − 8) = 2√8 = 4√2
求过圆 x² + y² = 25 上点 P(3, 4) 的切线方程。
直接用公式：3x + 4y = 25
切线方程：3x + 4y − 25 = 0
求过点 P(4, 6) 作圆 C: (x − 1)² + (y − 2)² = 4 的切线方程。
设切线方程 y − 6 = k(x − 4)，即 kx − y + 6 − 4k = 0
圆心 C(1, 2) 到切线距离等于半径：
|k − 2 + 6 − 4k| / √(k² + 1) = 2
|4 − 3k| / √(k² + 1) = 2
(4 − 3k)² = 4(k² + 1)
16 − 24k + 9k² = 4k² + 4
5k² − 24k + 12 = 0
解得 k = 6/5 或 k = 2
切线方程：y − 6 = (6/5)(x − 4) 即 6x − 5y + 6 = 0
或 y − 6 = 2(x − 4) 即 2x − y − 2 = 0
判断圆 C₁: x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0 与圆 C₂: x² + y² + 2x + 2y − 7 = 0 的位置关系。
C₁：(x − 2)² + (y − 3)² = 4，圆心 C₁(2, 3)，半径 r₁ = 2
C₂：(x + 1)² + (y + 1)² = 9，圆心 C₂(−1, −1)，半径 r₂ = 3
圆心距 d = √((2 − (−1))² + (3 − (−1))²) = √(9 + 16) = 5
r₁ + r₂ = 2 + 3 = 5
因为 d = r₁ + r₂，所以两圆外切。
已知圆 C₁: x² + y² − 2x − 6y + 6 = 0 与圆 C₂: x² + y² − 4x − 2y + 4 = 0，求两圆公共弦所在直线的方程和公共弦长。
公共弦方程：两圆方程相减
(x² + y² − 2x − 6y + 6) − (x² + y² − 4x − 2y + 4) = 0
2x − 4y + 2 = 0，即 x − 2y + 1 = 0
公共弦长：
C₁：(x − 1)² + (y − 3)² = 4，圆心 C₁(1, 3)，半径 r₁ = 2
C₁ 到公共弦 x − 2y + 1 = 0 的距离：d₁ = |1 − 6 + 1| / √(1 + 4) = 4/√5 = 4√5/5
公共弦长 = 2√(r₁² − d₁²) = 2√(4 − 16/5) = 2√(4/5) = 4√5/5
C。圆心 (0,0) 到直线 x − y + 1 = 0 的距离 d = |0 − 0 + 1| / √2 = 1/√2 ≈ 0.707 < 1 = r，相交。
B。C₁(0,0) 半径 r₁ = 2，C₂(3,4) 半径 r₂ = 3。圆心距 d = √(9+16) = 5 = r₁ + r₂，外切。
2√2。圆心 (0,0) 到直线距离 d = |0 + 0 − 2| / √2 = 2/√2 = √2。弦长 L = 2√(4 − 2) = 2√2。
x + y − 2 = 0。点 (1,1) 在圆上（1² + 1² = 2），直接用公式：1·x + 1·y = 2。
圆心 C(1, 2)，半径 r = √5
圆心到直线距离 d = |2×1 + 2| / √(4 + 1) = 4/√5
弦长 L = 2√(r² − d²) = 2√(5 − 16/5) = 2√(9/5) = 6/√5 = 6√5/5
点 P(3, 4) 在圆上（3² + 4² = 25），直接用公式：
3x + 4y = 25
切线方程：3x + 4y − 25 = 0
C₁ 圆心 (0, 0) 半径 r₁ = 3，C₂ 圆心 (a, 0) 半径 r₂ = 1
外切条件：d = r₁ + r₂ = 4
圆心距 d = |a| = 4
a = ±4
C₁ 圆心 (0, 0) 半径 r₁ = 2
C₂: x² − 6x + y² + 8y = 0 → (x − 3)² + (y + 4)² = 25，圆心 (3, −4) 半径 r₂ = 5
圆心距 d = √(9 + 16) = 5
r₂ − r₁ = 3，r₁ + r₂ = 7
因为 3 < 5 < 7，即 |r₂ − r₁| < d < r₁ + r₂，所以两圆相交。
公共弦方程：(x² + y²) − (x² + y² − 6x + 8y) = 4 − 0
6x − 8y = 4，即 3x − 4y − 2 = 0