第3课：圆的方程

一、知识梳理

1. 圆的标准方程

(x − a)² + (y − b)² = r²

圆心 C(a, b)，半径 r
特别地：圆心在原点时 x² + y² = r²

2. 圆的一般方程

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (D² + E² − 4F > 0)

圆心 (−D/2, −E/2)，半径 r = ½√(D² + E² − 4F)
配方方法：对 x 和 y 分别配方

D² + E² − 4F > 0 是方程表示圆的充要条件！

3. 求圆的方程（待定系数法）

方法	适用条件	说明
标准方程法	已知圆心或半径	设 (x−a)² + (y−b)² = r²，需三个条件
一般方程法	已知三个点	设 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，代入列方程组

4. 与圆有关的最值问题

类型	方法
距离最值	最大值 = \|PC\| + r，最小值 = \|PC\| − r
斜率最值	转化为直线与圆相切问题

二、典例精讲

【例 1】标准方程（基础）

求满足下列条件的圆的标准方程：

(1) 圆心为 (2, −3)，半径为 5

(2) 圆心为 (−1, 2)，且经过点 (3, 5)

【例 2】一般方程化标准式（基础）

将下列方程化为标准形式，并指出圆心和半径：

(1) x² + y² − 4x + 6y + 4 = 0

(2) x² + y² + 2x − 8y + 13 = 0

【例 3】待定系数法（中等）

求经过三点 A(0, 0)、B(4, 0)、C(0, 3) 的圆的方程。

【例 4】待定系数法·几何条件（中等）

已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2,−2)，且圆心 C 在直线 l: x−y+1=0 上，求圆 C 的标准方程。

【例 5】距离最值问题（提高）

已知圆 C: (x − 1)² + (y − 2)² = 4，点 P(4, 6)。

求 |PM| 的最大值和最小值，其中 M 是圆上的点。

【例 6】斜率最值问题（提高）

已知圆 C: x² + y² = 4，求圆上点 P(x, y) 与点 A(3, 0) 连线斜率的最大值和最小值。

三、课堂练习

一、选择题（每题 5 分，共 10 分）

1. 圆 (x − 3)² + (y + 2)² = 16 的圆心和半径分别为（）
A. (3, −2), 4 B. (−3, 2), 4 C. (3, −2), 16 D. (−3, 2), 16

2. 方程 x² + y² − 2x + 4y + 1 = 0 表示的图形是（）
A. 圆 B. 点 C. 不存在 D. 直线

二、填空题（每题 5 分，共 10 分）

3. 圆心为 (1, −1)，且经过点 (4, 3) 的圆的标准方程为 ______。

4. 将 x² + y² + 6x − 4y + 4 = 0 化为标准形式为 ______。

三、解答题（每题 15 分，共 60 分）

5. 求经过三点 A(2, 0)、B(0, 2)、C(0, 0) 的圆的方程。

6. 已知圆 C: (x − 2)² + (y − 3)² = 9，点 P(5, 7)。
(1) 判断点 P 与圆的位置关系
(2) 求 |PM| 的最大值和最小值（M 为圆上点）

7. 求圆心在直线 y = x 上，且经过点 A(1, 2) 和 B(3, 4) 的圆的方程。

8. 已知圆 C: x² + y² = 9，求圆上点到直线 x + y − 4 = 0 的距离的最大值和最小值。