平行条件（斜率存在时）：
平行条件（一般式）：
垂直条件（斜率存在时）：
垂直条件（一般式）：
联立两直线方程，解方程组：
两点间距离：
点到直线距离：
两平行线距离：
点关于直线对称的核心方法：
已知 l₁: 2x + 3y − 6 = 0，l₂: 4x + 6y + 5 = 0，l₃: 3x − 2y + 1 = 0。判断 l₁ 与 l₂、l₁ 与 l₃ 的位置关系。
l₁ 与 l₂：
A₁/A₂ = 2/4 = 1/2，B₁/B₂ = 3/6 = 1/2，C₁/C₂ = −6/5 ≠ 1/2
系数成比例但常数项不成比例 ⟹ l₁ ∥ l₂
l₁ 与 l₃：
A₁A₃ + B₁B₃ = 2×3 + 3×(−2) = 6 − 6 = 0
⟹ l₁ ⊥ l₃
（1）求经过点 P(1, 2)，且与直线 3x − 4y + 5 = 0 平行的直线方程。
（2）求经过点 Q(−1, 3)，且与直线 2x − y + 1 = 0 垂直的直线方程。
（1）平行：
平行则 x、y 系数相同，设所求直线为 3x − 4y + C = 0
代入 P(1, 2)：3 − 8 + C = 0，C = 5
所求直线：3x − 4y + 5 = 0
（2）垂直：
垂直则 A₁A₂ + B₁B₂ = 0，设所求直线为 x + 2y + C = 0
（交换 x、y 系数并改变其中一个的符号）
代入 Q(−1, 3)：−1 + 6 + C = 0，C = −5
所求直线：x + 2y − 5 = 0
求点 P(2, −1) 到直线 3x + 4y − 5 = 0 的距离。
d = |3×2 + 4×(−1) − 5| / √(3² + 4²)
= |6 − 4 − 5| / √25
= |−3| / 5
= 3/5
（1）求 l₁: 2x + 3y − 1 = 0 与 l₂: 2x + 3y + 7 = 0 之间的距离。
（2）求 l₁: 3x + 4y − 2 = 0 与 l₂: 6x + 8y + 5 = 0 之间的距离。
（1）系数已相同：
d = |−1 − 7| / √(2² + 3²) = 8 / √13 = 8√13 / 13
（2）系数不同，需先统一：
l₂ 化为：6x + 8y + 5 = 0 → 两边除以 2：3x + 4y + 5/2 = 0
d = |−2 − 5/2| / √(3² + 4²) = |−9/2| / 5 = 9/10
求点 A(1, 2) 关于直线 l: x − y + 3 = 0 的对称点 A' 的坐标。
设 A'(a, b)，则：
条件 1：AA' ⊥ l
l 的斜率为 1，AA' 斜率为 −1
(b − 2)/(a − 1) = −1
b − 2 = −(a − 1)
a + b = 3 ……①
条件 2：AA' 中点在 l 上
中点 ((a+1)/2, (b+2)/2) 在 l 上
(a+1)/2 − (b+2)/2 + 3 = 0
a + 1 − b − 2 + 6 = 0
a − b = −5 ……②
联立①②：
a + b = 3，a − b = −5
解得：a = −1，b = 4
A'(−1, 4)
已知点 A(1, 1)，B(3, 5)，在直线 l: x + y = 0 上找一点 P，使 |PA| + |PB| 最小。
A、B 在直线同侧（代入 x+y：A→2>0，B→8>0），需要找 A 关于 l 的对称点 A'。
求 A'：
设 A'(a, b)
AA' ⊥ l：(b − 1)/(a − 1) = 1（l 斜率为 −1，AA' 斜率为 1）→ b = a
中点 ((a+1)/2, (b+1)/2) 在 l 上：(a+1)/2 + (b+1)/2 = 0 → a + b = −2
由 b = a 和 a + b = −2：a = −1，b = −1，A'(−1, −1)
|PA| + |PB| 最小值 = |A'B|：
|A'B| = √[(3−(−1))² + (5−(−1))²] = √(16 + 36) = √52 = 2√13
P 点为 A'B 与 l 的交点：
A'B 方程：(y+1)/(5+1) = (x+1)/(3+1)，即 (y+1)/6 = (x+1)/4
4(y+1) = 6(x+1)，4y + 4 = 6x + 6，3x − 2y + 1 = 0
联立 x + y = 0：y = −x，3x + 2x + 1 = 0，x = −1/5，y = 1/5
P(−1/5, 1/5)
B
平行条件：a(a−1) = 2×1，即 a² − a − 2 = 0，解得 a = 2 或 a = −1
验证：a = −1 时，l₁: −x + 2y + 6 = 0，l₂: x + 2y = 0，两直线重合（排除）
a = 2 时，l₁: 2x + 2y + 6 = 0 即 x + y + 3 = 0，l₂: x + y + 3 = 0，两直线重合（排除）
重新验证：a = 2 时，l₁: 2x + 2y + 6 = 0，l₂: x + y + 3 = 0，化简后相同，重合
正确答案：B（a = 2 时平行，a = −1 时重合）
B
垂直条件：(m+3)×2 + 4×(5+m) = 0
2m + 6 + 20 + 4m = 0
6m = −26
m = −13/3
√5
d = |2×(−1) + 2 − 5| / √(4 + 1) = |−5| / √5 = √5
7/10
第二式化为 3x + 4y + 1/2 = 0
d = |−3 − 1/2| / 5 = 7/10
设 3x + 4y + C = 0，代入 P：6 − 4 + C = 0，C = −2
答案：3x + 4y − 2 = 0
设 x + 2y + C = 0，代入 Q：−1 + 6 + C = 0，C = −5
答案：x + 2y − 5 = 0
设 B'(a, b)：
条件 1：BB' ⊥ l
(b+2)/(a−3) = −1/2 → 2b + 4 = −a + 3 → a + 2b = −1 ……①
条件 2：中点在 l 上
2·(a+3)/2 − (b−2)/2 + 1 = 0 → 2a − b = −10 ……②
联立①②：a + 2b = −1，2a − b = −10
解：a = −21/5，b = 8/5
B'(−21/5, 8/5)
M(2,3) 关于 x 轴的对称点 M'(2, −3)
|PM| + |PN| 最小值 = |M'N| = √[(−1−2)² + (−1+3)²] = √(9+4) = √13
P 为 M'N 与 x 轴的交点：
M'N 方程：(y+3)/(−1+3) = (x−2)/(−1−2)，即 (y+3)/2 = (x−2)/(−3)
−3(y+3) = 2(x−2)，−3y − 9 = 2x − 4，2x + 3y + 5 = 0
令 y = 0：2x + 5 = 0，x = −5/2
P(−5/2, 0)，最小值 √13
| 类型 | 公式 | 注意事项 |
|---|---|---|
| 两点间距离 | √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] | 直接代入 |
| 点到直线距离 | |Ax₀+By₀+C| / √(A²+B²) | 直线必须化为一般式 |
| 两平行线距离 | |C₁−C₂| / √(A²+B²) | x、y 系数必须相同 |