一、知识梳理
1. 两条直线的平行与垂直
平行条件（斜率存在时）：
l₁ ∥ l₂ ⟺ k₁ = k₂ 且 b₁ ≠ b₂
平行条件（一般式）：
l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0，l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0
l₁ ∥ l₂ ⟺ A₁B₂ = A₂B₁ 且 A₁C₂ ≠ A₂C₁
垂直条件（斜率存在时）：
l₁ ⊥ l₂ ⟺ k₁ · k₂ = −1
垂直条件（一般式）：
l₁ ⊥ l₂ ⟺ A₁A₂ + B₁B₂ = 0
易错点：讨论平行垂直时，不要忘记斜率不存在的情况！一条水平一条竖直也互相垂直。
2. 两条直线的交点
联立两直线方程，解方程组：
- 有唯一解 ⟺ 两直线相交，解就是交点坐标
- 无解 ⟺ 两直线平行
- 无穷多解 ⟺ 两直线重合
3. 距离公式
两点间距离：
|P₁P₂| = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
点到直线距离：
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
直线方程必须化为一般式 Ax + By + C = 0 再代入公式！
两平行线距离：
d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²) （x、y 系数必须相同！）
4. 对称问题
点关于直线对称的核心方法：
- 条件 1：连线与对称轴垂直
- 条件 2：中点在对称轴上
二、典例精讲
【例 1】平行垂直判定（基础）
已知 l₁: 2x + 3y − 6 = 0，l₂: 4x + 6y + 5 = 0，l₃: 3x − 2y + 1 = 0。判断 l₁ 与 l₂、l₁ 与 l₃ 的位置关系。
【例 2】求直线方程（基础→中等）
（1）求经过点 P(1, 2)，且与直线 3x − 4y + 5 = 0 平行的直线方程。
（2）求经过点 Q(−1, 3)，且与直线 2x − y + 1 = 0 垂直的直线方程。
【例 3】点到直线距离（基础）
求点 P(2, −1) 到直线 3x + 4y − 5 = 0 的距离。
【例 4】两平行线距离（中等）
（1）求 l₁: 2x + 3y − 1 = 0 与 l₂: 2x + 3y + 7 = 0 之间的距离。
（2）求 l₁: 3x + 4y − 2 = 0 与 l₂: 6x + 8y + 5 = 0 之间的距离。
【例 5】对称问题（提高）
求点 A(1, 2) 关于直线 l: x − y + 3 = 0 的对称点 A' 的坐标。
【例 6】最值问题（提高）
已知点 A(1, 1)，B(3, 5)，在直线 l: x + y = 0 上找一点 P，使 |PA| + |PB| 最小。
三、课堂练习
一、选择题（每题 5 分）
1. 直线 l₁: ax + 2y + 6 = 0 与 l₂: x + (a−1)y + a²−1 = 0 平行，则 a = （ ）
A. −1 B. 2 C. −1 或 2 D. 0
2. 已知直线 l₁: (m+3)x + 4y = 5 − 3m，l₂: 2x + (5+m)y = 8 垂直，则 m = （ ）
A. −3 B. −13/3 C. −3 或 −13/3 D. 以上都不对
二、填空题（每题 5 分）
3. 点 P(−1, 2) 到直线 2x + y − 5 = 0 的距离为 ______。
4. 两直线 3x + 4y − 3 = 0 与 6x + 8y + 1 = 0 之间的距离为 ______。
三、解答题（每题 15 分）
5. 求经过点 P(2, −1) 且与直线 3x + 4y − 7 = 0 平行的直线方程。
6. 求经过点 Q(−1, 3) 且与直线 2x − y + 1 = 0 垂直的直线方程。
7. 求点 B(3, −2) 关于直线 l: 2x − y + 1 = 0 的对称点 B' 的坐标。
8. 已知点 M(2, 3)，N(−1, −1)，在 x 轴上找一点 P，使 |PM| + |PN| 最小，求 P 点坐标和最小值。
四、课堂小结
距离公式总结
| 类型 | 公式 | 注意事项 |
|---|
| 两点间距离 | √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] | 直接代入 |
| 点到直线距离 | |Ax₀+By₀+C| / √(A²+B²) | 直线必须化为一般式 |
| 两平行线距离 | |C₁−C₂| / √(A²+B²) | x、y 系数必须相同 |
对称问题方法
- 点关于点对称：中点公式
- 点关于直线对称：垂直 + 中点在直线上（两个条件联立）